Задача про путь, перемещение и работу

[Daylikor]

Проверьте, пожалуйста, ход решения первых четырех пунктов(в особенности расчет пути и перемещения, так как не могу до конца разобраться с ними) и помогите, пожалуйста, разобраться с определением работы приложенной силы.

Уравнение движения тела массой 2,2 кг имеет вид $x(t)=-45-8t^2-0,08t^3 $
Необходимо определить модуль перемещения, путь, скорость, проекцию скорости и работу силы, приложенной к телу, в момент времени 24 минуты(1440 секунд).

Мой ход решения:

Для начала определим модуль перемещения материальной точки за заданный период времени, равный разности ее координат в конечный момент времени и в начальный момент времени:
$s=|x(1440)-x(0)|=255467520$ метров (Меня немного смущает настолько большая величина модуля перемещения, но вроде бы я рассчитал его правильно)

Путь, пройденный точкой за промежуток времени в 24 минуты будет равен:
$x(1440)=255467565$ метров

Проекция скорости будет равна первой производной от пути по времени:
$v_x=-16t-0,24t^2=-23385,6$ метров в секунду

Модуль скорости, насколько я понимаю, будет отличаться от ее проекции только знаком и будет соответственно равен 23385,6 метров в секунду.

Далее я начинаю рассчитывать работу, которая будет соответственно равна:
$A=FS\cos x$, где $F=ma=m(-16-0,48t)=-1555,84$ Н
Величина перемещения была определена ранее

Теперь у меня возникает вопрос, как определить косинус угла между силой и направлением перемещения, ведь без него рассчитать работу не получится? И еще, при расчете работы мы же должны брать величину силы по модулю?

Еще вопрос, какой вид будет иметь график зависимости модуля перемещения от времени? Это будет просто график уравнения движения, взятого по модулю?

[Pphantom]

Daylikor в сообщении #1424037 писал(а):

Уравнение движения тела массой 2,2 кг имеет вид $x(t)=-45-8t^2-0,08t^3 $

Daylikor в сообщении #1424037 писал(а):

(Меня немного смущает настолько большая величина модуля перемещения, но вроде бы я рассчитал его правильно)

Возможно. Но есть такой интересный вопрос: откуда следует, что время в этом выражении задано в секундах, а координата - в метрах?

Daylikor в сообщении #1424037 писал(а):

Теперь у меня возникает вопрос, как определить косинус угла между силой и направлением перемещения, ведь без него рассчитать работу не получится?

Получится. Как работа связана с изменением кинетической энергии?

[Daylikor]

Цитата:

Получится. Как работа связана с изменением кинетической энергии?

Благодарю за идею с выражением работы через энергию

Я правильно понимаю, что по теореме об изменении кинетической энергии тела работа будет соответсвенно равна
$A=\frac{mv^2}{2}$, где $v$- скорость тела в момент времени 24 минуты?

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я рассчитал путь и перемещение?

И еще, как будет выглядеть график зависимости пути от времени?

[EUgeneUS]

Daylikor в сообщении #1424124 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я рассчитал путь и перемещение?

Предлагаю начать с определений.
Что такое путь и что такое перемещение?

[Daylikor]

Цитата:

Что такое путь и что такое перемещение?

Путь- длина участка траектории, пройденного точкой с начального момента времени до конечного момента времени
Перемещение- вектор, соединяющий начальное и конечное положения точки

[EUgeneUS]

Хорошо.

Пусть нам известно $\vec{x}(t)$ (размерность вектора пока любая).
Чему равен путь и чему равно перемещение между моментами времени $t=t_0$ и $t = t_1$?

[Pphantom]

Daylikor в сообщении #1424124 писал(а):

Я правильно понимаю, что по теореме об изменении кинетической энергии тела работа будет соответсвенно равна
$A=\frac{mv^2}{2}$, где $v$- скорость тела в момент времени 24 минуты?

Да.

[yurasmolensk43]

Daylikor в сообщении #1424037 писал(а):

Далее я начинаю рассчитывать работу, которая будет соответственно равна:
$A=FS\cos x$, где $F=ma=m(-16-0,48t)=-1555,84$ Н
Величина перемещения была определена ранее

Но ведь это конечное значение силы, которая будет постоянно меняться по модулю.

[Daylikor]

Цитата:

Пусть нам известно $\vec{x}(t)$ (размерность вектора пока любая).
Чему равен путь и чему равно перемещение между моментами времени $t=t_0$ и $t = t_1$?

Перемещение будет равно вектору $\vec{x}(t)=\vec{x}(t_1)-\vec{x}(t_0)$
Путь будет равен модулю этого вектора

[EUgeneUS]

Daylikor в сообщении #1424279 писал(а):

Перемещение будет равно вектору $\vec{x}(t)=\vec{x}(t_1)-\vec{x}(t_0)$

На словах - верно. А в формуле - бред, извините. То есть неаккуратные обозначения убили смысл.
Для перемещения нужно бы отдельное обозначение, например $\vec{s}$, чтобы подчеркнуть, что перемещение зависит от начального и конечного момента времени, можно записать: $\vec{s}(t_0, t_1)$, тогда $\vec{s}(t_0, t_1) = \vec{x}(t_1)-\vec{x}(t_0)$

Daylikor в сообщении #1424279 писал(а):

Путь будет равен модулю этого вектора

Тут ересь, извините ещё раз. То есть принципиальная ошибка. Вы же ранее привели правильное определение:

Daylikor в сообщении #1424129 писал(а):

Путь- длина участка траектории, пройденного точкой с начального момента времени до конечного момента времени

И совсем не обязательно это будет модулем перемещения.
Пусть "пони бегает по кругу". Пони сделала целое количество оборотов по цирковой арене, тогда перемещение равно $\vec{0}$, и модуль перемещения - ноль. А длина участка траектории - длина окружности умноженная на количество оборотов, никак не ноль.

Насколько понял, Вы - школьник, не знаю, дается ли информации ниже в школьной программе, но она весьма полезна для понимания.
Воспользуемся тем фактом, что скорость (если она не нулевая) всегда направлена по касательной к траектории. Тогда длина маленького участка траектории равна: $dl = |\vec{v}| dt$, а длина участка траектории между моментами времени $t_0, t_1$ получается такой:
$l(t_0, t_1) = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{v}| dt$
И это верно для любой размерности пространства (а значит и размерности вектора скорости)

Посмотрим, как это работает для движения по окружности.
В декартовой системе координат
$x = R \sin t$
$y = R \cos t$
Найдем компоненты скорости (продифференцируем по времени):
$v_x = \dot{x} = R \cos t$
$v_x = \dot{y} = - R \sin t$
Найдем модуль скорости:
$|v| = \sqrt{(v_x)^2 + (v_y)^2} = R$
Подставим в наш волшебный интеграл модуль скорости:
$l(t_0, t_1) = \int\limits_{t_0}^{t_1} R dt$
Период синуса и косинуса $2 \pi$, посмотрим какой путь прошло тело за один период:
$l(0, 2 \pi) = \int\limits_{0}^{2 \pi} R dt = 2 \pi R$

В одномерном движении всё тоже самое (точка - производная по времени):
$l(t_0, t_1) = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\dot{\vec{x}}| dt$
Обратите внимание на модуль под интегралом.
Для случая одномерного движения это означает, что если мы по какому-то месту ходим туда-сюда, то при подсчете пути (длины траектории) все эти "туда-сюда" складываются.

-- 06.11.2019, 08:37 --

В вашем примере при $t>0$ скорость знак не меняет, поэтому неверные рассуждения (что путь равен модулю перемещения), могут привести к верному ответу, если начальный момент времени выбирать $t=0$ или позже.
Но посчитайте путь и перемещение между моментами времени $t_0 = -20, t_1 = 20$.
И почувствуйте разницу

-- 06.11.2019, 08:40 --

И еще.
В Ваших условиях не определен начальный момент времени.
Как-то все неявно считают, что начальный момент времени это $t=0$, так принято.
Но вообще говоря, это неверно. Момент времени $t=0$ ничем не отличается от любого другого момента времени.