Постулаты классической механики. Все и коротко.

[pogulyat_vyshel]

Материальная точка -- это тело, размерами которого можно пренебречь.
Система отсчета -- это система координат в нашем физическом $\mathbb{R}^3$ + часы.
Система отсчета называется инерциальной, если материальная точка, которая не взаимодействует с другими телами, движется в этой системе с постоянной скоростью.

Постулат 1. [Первый закон Ньютона] Инерциальные системы отсчета существуют.

Постулат 2. [Принцип детерминированности] В каждый момент времени ускорение точки относительно инерциальной системы однозначно определяется ее положением и скоростью:

$$\bs{\ddot r}(t)=\bs f(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).$$

Масса материальной точки вводится с помощью пружинных весов, и экспериментально устанавливается, что масса системы нескольких материальных точек равна сумме масс каждой из них.

Постулат 3. Масса положительна и аддитивна.

Перепишем принцип детерминированности в следующем виде.

$$m\bs{\ddot r}(t)=\bs F(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).\qquad(*)$$

Вектор в правой части этого уравнения называется силой. Формула (*) называется вторым законом Ньютона.

Постулат 4. [Принцип суперпозиции]
Если на материальную точку $m$ со стороны системы I действует сила $\bs F_I$, а со стороны системы II действует сила $\bs F_{II}$, и других воздействий нет, то второй закон Ньютона для этой точки записывается следующим образом:

$$m\bs{\ddot r}=\bs F_I+\bs F_{II}.$$

Множество преобразований

$$(t,\bs r)\mapsto(t+t_0,A\bs r+\bs v t+\bs r_0),\quad A\in O(3)$$

($t_0,\bs v,\bs r_0,A$ -- параметры преобразования) четырехмерного пространства-времени $\mathbb{R}^4=\{(t,\bs{r})\}$,
образуют группу, которая называется группой Галилея.

Система материальных точек называется замкнутой, если на нее не воздействуют тела, не принадлежащие этой системе.

Постулат 5. [Принцип относительности Галилея] Уравнения движения замкнутой системы материальных точек, записанные в инерциальной системе отсчета, инвариантны относительно действия группы Галилея.

Таким образом, в любой системе отсчета, полученной из инерциальной преобразованием Галилея, уравнения движения замкнутой системы пишутся одинаково. Все системы отсчета, полученные из инерциальной системы преобразованием Галилея, являются инерциальными.


Постулат 6. [Третий закон Ньютона] Если материальная точка II действует на материальную точку I с силой $\bs F$, то материальная точка I действует на материальную точку II с силой $-\bs F$, причем сила $\bs F$ направлена вдоль прямой, соединяющей точки I и II.

[AnatolyBa]

Два вопроса.
Силы зависящие от ускорения (скажем, радиационное трение) вы исключаете вообще?
Определение массы с помощью пружинных весов - вы постулируете закон Гука и какие-то свойства гравитации?

[Утундрий]

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):

Система отсчета -- это система координат

Возникает резонный вопрос - а что такое система координат?

[pogulyat_vyshel]

AnatolyBa в сообщении #1424031 писал(а):

Силы зависящие от ускорения (скажем, радиационное трение) вы исключаете вообще?

да

AnatolyBa в сообщении #1424031 писал(а):

Определение массы с помощью пружинных весов - вы постулируете закон Гука и какие-то свойства гравитации?

гравитация -- $g$, пружина линейно упругая, все предельно наивно.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):

$$m\bs{\ddot r}(t)=\bs F(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).\qquad(*)$$

Вектор в правой части этого уравнения называется силой. Формула (*) называется вторым законом Ньютона.

Ой, бяда. А если масса не постоянна?

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):

В каждый момент времени ускорение точки относительно инерциальной системы однозначно определяется ее положением и скоростью:

$$\bs{\ddot r}(t)=\bs f(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).$$

А соударения и распады вы не рассматриваете?

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):

Если на материальную точку $m$ со стороны системы I действует сила $\bs F_I$

Понятие "система" к моменту появления этой формулировки катастрофически не определено. (Система, и система материальных точек - понятия разные, если что. Второе - частный случай первого. Кроме того, обойдён вопрос, как рассматривать незамкнутые системы и внешние силы. В частности, с ними непонятно как быть и в принципе относительности.)

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):

Постулат 6. [Третий закон Ньютона] Если материальная точка II действует на материальную точку I с силой $\bs F$, то материальная точка I действует на материальную точку II с силой $-\bs F$, причем сила $\bs F$ направлена вдоль прямой, соединяющей точки I и II.

Тут не сказано, что сила действия одной точки на другую - единственная (в графе межточечных взаимодействий нет кратных рёбер).

Кроме того, и это куда важнее, не упоминается, что все силы между системами материальных точек сводятся к попарным взаимодействиям между точками. А во многих ситуациях (традиционно не входящих в ньютоновскую механику, но иногда входящих в лагранжеву) это сильно не так.

Ну и ещё придирка. В постулатах до 3-го включительно написано аккуратно: $\mathbf F(t,\mathbf r(t),\mathbf{\dot r}(t)).$ А потом вдруг аргументы пропадают. А в Третьем законе Ньютона важнейшую роль играет то, что $\mathbf F$ и $-\mathbf F$ суть $\mathbf F(t)$ $-\mathbf F(t),$ то есть, относятся к одному и тому же моменту времени: нет запаздывания взаимодействий. Запаздывающие взаимодействия возможны при наличии среды или поля.

----

В общем, в литературе приведены более проработанные попытки. Не утомляя ТС общеизвестной литературой, которой он владеет лучше меня, назову одну дополнительную брошюрку
Журавлев В.Ф. Основания механики. Методические аспекты. // ИПМ АН СССР, препринт № 251, Москва, 1985. (есть в сети.)

[SomePupil]

Утундрий в сообщении #1424033 писал(а):

Возникает резонный вопрос - а что такое система координат?

Munin в сообщении #1425883 писал(а):

Понятие "система" к моменту появления этой формулировки катастрофически не определено. (Система, и система материальных точек - понятия разные, если что. Второе - частный случай первого. Кроме того, обойдён вопрос, как рассматривать незамкнутые системы и внешние силы. В частности, с ними непонятно как быть и в принципе относительности.)

Резонны ли такого рода вопросы по отношению к постулатам? Это ведь от аксиом, а не от постулатов, требуется строгое определение связей между первичными понятиями, и тем самым, возможная реализация на пивных кружках. А постулаты, пусть даже и сто раз внутренне противоречивые и нестрогие, дай бог, чтобы они худо-бедно обеспечивали нас полезными соображениями, "фоновыми", когда работаем с объектами рассмотрения. В данном случае с законами классической механики.

P.S. Хорошо бы узнать, на какую степень строгости претендовал ТС.

[Munin]

Понимаете ли, pogulyat_vyshel - механик "от математики", рассматривает механику как часть математики (типа как мехмат или матмех), и относится к ней соответствующе. Ну так значит, он должен и выдерживать математический уровень строгости. (На который он часто претендует, но не всегда выдерживает.)

Но к счастью, физикам механику совсем не так читают.

С другой стороны, постулаты в физике не должны быть внутренне противоречивыми и нестрогими. Эпоха внутренне противоречивой и нестрогой мешанины закончилась в 19 веке. В 20 веке постулаты используются, чтобы вывести из них все возможные следствия, и если постулаты сведены в теорию, но противоречивы, то теория даст противоречивые ответы на один и тот же вопрос, то есть будет некорректной. Так что, постулаты, не совместимые друг с другом, могут существовать только в разных теориях. Разным теориям позволено давать разные ответы на один и тот же вопрос: либо ответы должны совпадать с учётом погрешности между собой и с экспериментом, либо они лежат за границами применимости одной или обеих теорий.

"Фоновые соображения" и интуиция - это хорошо, но пока они недостаточно строги и потенциально противоречивы, они ещё не имеют права на звание постулатов.

[photon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):

Система отсчета называется инерциальной, если материальная точка, которая не взаимодействует с другими телами, движется в этой системе с постоянной скоростью.

А если взаимодействует, но действие скомпенсировано?

[Padawan]

photon в сообщении #1426103 писал(а):

А если взаимодействует, но действие скомпенсировано?

Тогда система называется неинерциальной.

[Munin]

photon в сообщении #1426103 писал(а):

А если взаимодействует, но действие скомпенсировано?

Это  принято  можно рассчитывать по 2 закону Ньютона, как частный случай. Для определения инерциальности достаточно привязаться только к невзаимодействующим точкам.

С точки зрения физики, беда в том, что точек, которые ни с чем не взаимодействуют, строго говоря, не бывает. А "действие скомпенсировано" - что это такое, мы можем дефинировать только после введения 2 закона Ньютона.

Но с точки зрения математики, на это, конечно, плевать.