2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение04.11.2019, 16:51 
Аватара пользователя


31/08/17
2115
Материальная точка -- это тело, размерами которого можно пренебречь.
Система отсчета -- это система координат в нашем физическом $\mathbb{R}^3$ + часы.
Система отсчета называется инерциальной, если материальная точка, которая не взаимодействует с другими телами, движется в этой системе с постоянной скоростью.

Постулат 1. [Первый закон Ньютона] Инерциальные системы отсчета существуют.

Постулат 2. [Принцип детерминированности] В каждый момент времени ускорение точки относительно инерциальной системы однозначно определяется ее положением и скоростью:
$$\bs{\ddot r}(t)=\bs f(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).$$

Масса материальной точки вводится с помощью пружинных весов, и экспериментально устанавливается, что масса системы нескольких материальных точек равна сумме масс каждой из них.

Постулат 3. Масса положительна и аддитивна.

Перепишем принцип детерминированности в следующем виде.
$$m\bs{\ddot r}(t)=\bs F(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).\qquad(*)$$
Вектор в правой части этого уравнения называется силой. Формула (*) называется вторым законом Ньютона.

Постулат 4. [Принцип суперпозиции]
Если на материальную точку $m$ со стороны системы I действует сила $\bs F_I$, а со стороны системы II действует сила $\bs F_{II}$, и других воздействий нет, то второй закон Ньютона для этой точки записывается следующим образом:
$$m\bs{\ddot r}=\bs F_I+\bs F_{II}.$$



Множество преобразований $$(t,\bs r)\mapsto(t+t_0,A\bs r+\bs v t+\bs r_0),\quad A\in O(3)$$
($t_0,\bs v,\bs r_0,A$ -- параметры преобразования) четырехмерного пространства-времени $\mathbb{R}^4=\{(t,\bs{r})\}$,
образуют группу, которая называется группой Галилея.

Система материальных точек называется замкнутой, если на нее не воздействуют тела, не принадлежащие этой системе.

Постулат 5. [Принцип относительности Галилея] Уравнения движения замкнутой системы материальных точек, записанные в инерциальной системе отсчета, инвариантны относительно действия группы Галилея.

Таким образом, в любой системе отсчета, полученной из инерциальной преобразованием Галилея, уравнения движения замкнутой системы пишутся одинаково. Все системы отсчета, полученные из инерциальной системы преобразованием Галилея, являются инерциальными.


Постулат 6. [Третий закон Ньютона] Если материальная точка II действует на материальную точку I с силой $\bs F$, то материальная точка I действует на материальную точку II с силой $-\bs F$, причем сила $\bs F$ направлена вдоль прямой, соединяющей точки I и II.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение04.11.2019, 23:32 
Заслуженный участник


21/09/15
909
Два вопроса.
Силы зависящие от ускорения (скажем, радиационное трение) вы исключаете вообще?
Определение массы с помощью пружинных весов - вы постулируете закон Гука и какие-то свойства гравитации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение04.11.2019, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9858
pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):
Система отсчета -- это система координат
Возникает резонный вопрос - а что такое система координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение05.11.2019, 07:02 
Аватара пользователя


31/08/17
2115
AnatolyBa в сообщении #1424031 писал(а):
Силы зависящие от ускорения (скажем, радиационное трение) вы исключаете вообще?

да
AnatolyBa в сообщении #1424031 писал(а):
Определение массы с помощью пружинных весов - вы постулируете закон Гука и какие-то свойства гравитации?

гравитация -- $g$, пружина линейно упругая, все предельно наивно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение14.11.2019, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):
$$m\bs{\ddot r}(t)=\bs F(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).\qquad(*)$$ Вектор в правой части этого уравнения называется силой. Формула (*) называется вторым законом Ньютона.

Ой, бяда. А если масса не постоянна?

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):
В каждый момент времени ускорение точки относительно инерциальной системы однозначно определяется ее положением и скоростью:
$$\bs{\ddot r}(t)=\bs f(t,\bs r(t),\bs{\dot r}(t)).$$

А соударения и распады вы не рассматриваете?

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):
Если на материальную точку $m$ со стороны системы I действует сила $\bs F_I$

Понятие "система" к моменту появления этой формулировки катастрофически не определено. (Система, и система материальных точек - понятия разные, если что. Второе - частный случай первого. Кроме того, обойдён вопрос, как рассматривать незамкнутые системы и внешние силы. В частности, с ними непонятно как быть и в принципе относительности.)

pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):
Постулат 6. [Третий закон Ньютона] Если материальная точка II действует на материальную точку I с силой $\bs F$, то материальная точка I действует на материальную точку II с силой $-\bs F$, причем сила $\bs F$ направлена вдоль прямой, соединяющей точки I и II.

Тут не сказано, что сила действия одной точки на другую - единственная (в графе межточечных взаимодействий нет кратных рёбер).

Кроме того, и это куда важнее, не упоминается, что все силы между системами материальных точек сводятся к попарным взаимодействиям между точками. А во многих ситуациях (традиционно не входящих в ньютоновскую механику, но иногда входящих в лагранжеву) это сильно не так.

Ну и ещё придирка. В постулатах до 3-го включительно написано аккуратно: $\mathbf F(t,\mathbf r(t),\mathbf{\dot r}(t)).$ А потом вдруг аргументы пропадают. А в Третьем законе Ньютона важнейшую роль играет то, что $\mathbf F$ и $-\mathbf F$ суть $\mathbf F(t)$ $-\mathbf F(t),$ то есть, относятся к одному и тому же моменту времени: нет запаздывания взаимодействий. Запаздывающие взаимодействия возможны при наличии среды или поля.

----

В общем, в литературе приведены более проработанные попытки. Не утомляя ТС общеизвестной литературой, которой он владеет лучше меня, назову одну дополнительную брошюрку
Журавлев В.Ф. Основания механики. Методические аспекты. // ИПМ АН СССР, препринт № 251, Москва, 1985. (есть в сети.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение15.11.2019, 12:55 
Аватара пользователя


07/01/15
1117
Якутск
Утундрий в сообщении #1424033 писал(а):
Возникает резонный вопрос - а что такое система координат?

Munin в сообщении #1425883 писал(а):
Понятие "система" к моменту появления этой формулировки катастрофически не определено. (Система, и система материальных точек - понятия разные, если что. Второе - частный случай первого. Кроме того, обойдён вопрос, как рассматривать незамкнутые системы и внешние силы. В частности, с ними непонятно как быть и в принципе относительности.)

Резонны ли такого рода вопросы по отношению к постулатам? Это ведь от аксиом, а не от постулатов, требуется строгое определение связей между первичными понятиями, и тем самым, возможная реализация на пивных кружках. А постулаты, пусть даже и сто раз внутренне противоречивые и нестрогие, дай бог, чтобы они худо-бедно обеспечивали нас полезными соображениями, "фоновыми", когда работаем с объектами рассмотрения. В данном случае с законами классической механики.

P.S. Хорошо бы узнать, на какую степень строгости претендовал ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение15.11.2019, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Понимаете ли, pogulyat_vyshel - механик "от математики", рассматривает механику как часть математики (типа как мехмат или матмех), и относится к ней соответствующе. Ну так значит, он должен и выдерживать математический уровень строгости. (На который он часто претендует, но не всегда выдерживает.)

Но к счастью, физикам механику совсем не так читают.

С другой стороны, постулаты в физике не должны быть внутренне противоречивыми и нестрогими. Эпоха внутренне противоречивой и нестрогой мешанины закончилась в 19 веке. В 20 веке постулаты используются, чтобы вывести из них все возможные следствия, и если постулаты сведены в теорию, но противоречивы, то теория даст противоречивые ответы на один и тот же вопрос, то есть будет некорректной. Так что, постулаты, не совместимые друг с другом, могут существовать только в разных теориях. Разным теориям позволено давать разные ответы на один и тот же вопрос: либо ответы должны совпадать с учётом погрешности между собой и с экспериментом, либо они лежат за границами применимости одной или обеих теорий.

"Фоновые соображения" и интуиция - это хорошо, но пока они недостаточно строги и потенциально противоречивы, они ещё не имеют права на звание постулатов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение15.11.2019, 15:42 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11585
pogulyat_vyshel в сообщении #1423951 писал(а):
Система отсчета называется инерциальной, если материальная точка, которая не взаимодействует с другими телами, движется в этой системе с постоянной скоростью.

А если взаимодействует, но действие скомпенсировано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение15.11.2019, 15:53 
Заслуженный участник


13/12/05
3990
photon в сообщении #1426103 писал(а):
А если взаимодействует, но действие скомпенсировано?


Тогда система называется неинерциальной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постулаты классической механики. Все и коротко.
Сообщение15.11.2019, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
photon в сообщении #1426103 писал(а):
А если взаимодействует, но действие скомпенсировано?

Это  принято  можно рассчитывать по 2 закону Ньютона, как частный случай. Для определения инерциальности достаточно привязаться только к невзаимодействующим точкам.

С точки зрения физики, беда в том, что точек, которые ни с чем не взаимодействуют, строго говоря, не бывает. А "действие скомпенсировано" - что это такое, мы можем дефинировать только после введения 2 закона Ньютона.

Но с точки зрения математики, на это, конечно, плевать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group