Кручение винтовой спирали

[reterty]

Рассмотрим элементарный участок спирали длиною $dl$. Cначала для простоты будет считать что в процессе деформации спирали угол наклона витков к горизонту пренебрежимо малым (линейная теория). Тогда можно считать, что радиусы $ R_1 $ и $ R_2 $, проведенные от оси симметрии спирали к центрам торцевых сечений этого участка спирали лежат в одной плоскости и имеют общую точку $ C $. После деформации кручения второе сечение поворачивается относительно первого на угол $ d \theta = M _ {t} dl / (GJ _ {t}) $, где $ G $ - модуль сдвига (модуль жесткости); $ J _ {t} $ - постоянная кручения; $M_t$-крутящий момент. При этом радиус $ R_2 $ повернется относительно радиуса $ R_1 $ на тот же угол $ d \theta $, а второй конец сечения сместится вниз на расстояние $ dz = R d \theta $, где $R$-радиус витков спирали. Интегрируя обе части этого равенства, получим: $M_{t}=\frac{G J_{ t}}{Rl}z$. Проблемы у меня возникают для случая геометрически больших деформаций, когда радиус и угол наклона витков не остаются постоянными. Для этого случая все монографии, что я нашел, утверждают, что отношение $\frac{M_{t}}{G J_{ t}}$ равно изменению кручения пространственной кривой (спирали): $\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{R}-\frac{\sin\alpha_0 \cos\alpha_0}{R_0}$. Здесь $\alpha$ текущий угол наклона. Я пробовал вывести это равенство, используя подход описанный вначале, но не смог. Да, в этом случае $z=l(\sin\alpha-\sin\alpha_0 )$, но откуда взялся $\cos\alpha$???? И как они разобрались с переменным радиусом???. Прощу Вашей помощи

[reterty]

Уважаемые форумчане! Вот уже неделю вожусь с этим вопросом. Несколько раз проделывал выкладки. Не сходится никак с литературными выражениями. Прошу проверить мои выкладки. Вот они.
1) Рассмотрим спираль с постоянным произвольным углом подьема $\alpha$ (угол между горизонтальной плоскостью и касательной к пространственной спирали в каждой точке) и постоянной общей длиной $l$. Выделим в ней произвольный элементарный участок длиною $dl$. Проведем радиусы $ R_1 $ и $ R_2 $ от оси симметрии спирали к центрам торцевых сечений этого участка перпендикулярным оси этого элемента. После деформации кручения второе сечение поворачивается относительно первого на угол $ d \theta = M dl / C$, где $C $ - жесткость при кручении; $M$-крутящий момент. При этом радиус $ R_2 $ повернется относительно радиуса $ R_1 $ на тот же угол $ d \theta $, а второй конец сечения сместится вниз так, что проекция этого смещения на вертикальную ось $z$ (ось симметрии спирали) будет равна: $ dz = R d \theta \cos\alpha$, где $R$-радиус витков спирали.
2) Запишем очевидные равенства: $dl=Rd\varphi/\cos\alpha$ (здесь $\varphi$ -полярный угол в горизонтальной плоскости), $l\cos\alpha=R\varphi$.
3) Поскольку $z=l\sin\alpha$, то $dz=l\cos\alpha d\alpha$.
В силу (1-3) будем иметь: $\frac{l}{R^2}\frac{d\alpha}{d\varphi}\cos\alpha=\frac{M}{C}$. Но из (2) $\frac{d\varphi}{d\alpha}=-l\sin\alpha/R$. Тогда окончательно $\frac{M}{C}=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha R}$. А в "ответе": $\frac{M}{C}=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{ R}$??? Помогите найти ошибки!