2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кручение винтовой спирали
Сообщение04.11.2019, 15:09 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Рассмотрим элементарный участок спирали длиною $dl$. Cначала для простоты будет считать что в процессе деформации спирали угол наклона витков к горизонту пренебрежимо малым (линейная теория). Тогда можно считать, что радиусы $ R_1 $ и $ R_2 $, проведенные от оси симметрии спирали к центрам торцевых сечений этого участка спирали лежат в одной плоскости и имеют общую точку $ C $. После деформации кручения второе сечение поворачивается относительно первого на угол $ d \theta = M _ {t} dl / (GJ _ {t}) $, где $ G $ - модуль сдвига (модуль жесткости); $ J _ {t} $ - постоянная кручения; $M_t$-крутящий момент. При этом радиус $ R_2 $ повернется относительно радиуса $ R_1 $ на тот же угол $ d \theta $, а второй конец сечения сместится вниз на расстояние $ dz = R d \theta  $, где $R$-радиус витков спирали. Интегрируя обе части этого равенства, получим: $M_{t}=\frac{G J_{ t}}{Rl}z$. Проблемы у меня возникают для случая геометрически больших деформаций, когда радиус и угол наклона витков не остаются постоянными. Для этого случая все монографии, что я нашел, утверждают, что отношение $\frac{M_{t}}{G J_{ t}}$ равно изменению кручения пространственной кривой (спирали): $\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{R}-\frac{\sin\alpha_0 \cos\alpha_0}{R_0}$. Здесь $\alpha$ текущий угол наклона. Я пробовал вывести это равенство, используя подход описанный вначале, но не смог. Да, в этом случае $z=l(\sin\alpha-\sin\alpha_0 )$, но откуда взялся $\cos\alpha$???? И как они разобрались с переменным радиусом???. Прощу Вашей помощи

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение винтовой спирали
Сообщение09.11.2019, 21:25 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Уважаемые форумчане! Вот уже неделю вожусь с этим вопросом. Несколько раз проделывал выкладки. Не сходится никак с литературными выражениями. Прошу проверить мои выкладки. Вот они.
1) Рассмотрим спираль с постоянным произвольным углом подьема $\alpha$ (угол между горизонтальной плоскостью и касательной к пространственной спирали в каждой точке) и постоянной общей длиной $l$. Выделим в ней произвольный элементарный участок длиною $dl$. Проведем радиусы $ R_1 $ и $ R_2 $ от оси симметрии спирали к центрам торцевых сечений этого участка перпендикулярным оси этого элемента. После деформации кручения второе сечение поворачивается относительно первого на угол $ d \theta = M  dl / C$, где $C $ - жесткость при кручении; $M$-крутящий момент. При этом радиус $ R_2 $ повернется относительно радиуса $ R_1 $ на тот же угол $ d \theta $, а второй конец сечения сместится вниз так, что проекция этого смещения на вертикальную ось $z$ (ось симметрии спирали) будет равна: $ dz = R d \theta  \cos\alpha$, где $R$-радиус витков спирали.
2) Запишем очевидные равенства: $dl=Rd\varphi/\cos\alpha$ (здесь $\varphi$ -полярный угол в горизонтальной плоскости), $l\cos\alpha=R\varphi$.
3) Поскольку $z=l\sin\alpha$, то $dz=l\cos\alpha d\alpha$.
В силу (1-3) будем иметь: $\frac{l}{R^2}\frac{d\alpha}{d\varphi}\cos\alpha=\frac{M}{C}$. Но из (2) $\frac{d\varphi}{d\alpha}=-l\sin\alpha/R$. Тогда окончательно $\frac{M}{C}=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha R}$. А в "ответе": $\frac{M}{C}=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{ R}$??? Помогите найти ошибки!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group