Доказать сходимость последовательности, заданной рекуррентно

[bubu gaga]

Доказать, что последовательность

$$ x_{n + 1} = \frac{1}{4 - x_n} $$

для данного $x_1 = 3$ сходится. Как такие вещи доказываются, посоветуйте. Спасибо!

[Henrylee]

Докажите, что последовательность монотонно убывает и ограничена снизу.

[TOTAL]

bubu gaga писал(а):

Как такие вещи доказываются, посоветуйте. Спасибо!

Теорема о сжимающем отображении.

[bubu gaga]

Продолжу здесь же. А вот для такой последовательности как доказать ограниченность сверху

$$ \sqrt{2}, \; \sqrt{2\sqrt{2}}, \; \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}, \; \dots $$

Спасибо!

[bobo]

Замените последнюю двойку четверкой

[Nikita.bsu]

Можно и не доказывать ограниченность сверху, а найти предел по другому.
$\[x_n = \sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {...} } } } } \]$, тогда $\[x_{n + 1} = \sqrt {2x_n } \]$. Возведем последнее равенство в квадрат и переходим к пределу при $\[n \to \infty \]$, получаем
$\[x^2 = 2x\]$
Откуда находим, что $x_n \to 2$ при $\[n \to \infty \]$

[venja]

Nikita.bsu писал(а):

Можно и не доказывать ограниченность сверху, а найти предел по другому.
$\[x_n = \sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {...} } } } } \]$, тогда $\[x_{n + 1} = \sqrt {2x_n } \]$. Возведем последнее равенство в квадрат и переходим к пределу при $\[n \to \infty \]$, получаем
$\[x^2 = 2x\]$
Откуда находим, что $x_n \to 2$ при $\[n \to \infty \]$

Доказывать надо. Иначе нельзя переходить в равенстве к пределу , не установив его существование.

bobo писал(а):

Замените последнюю двойку четверкой

Красиво!

[TOTAL]

venja писал(а):

Доказывать надо. Иначе нельзя переходить в равенстве к пределу , не установив его существование.

$$x_n=2^{1-\frac{1}{2^n}}$$

[bubu gaga]

Я так доказал рост

$$ x_{n + 1} = \sqrt{2x_n} $$

Последовательность возрастающая для $x_1 > 0 $. А метод с четвёркой очень красивый. Спасибо!