2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать сходимость последовательности, заданной рекуррентно
Сообщение02.09.2008, 13:10 
Аватара пользователя
Доказать, что последовательность

$$ x_{n + 1} = \frac{1}{4 - x_n} $$

для данного $x_1 = 3$ сходится. Как такие вещи доказываются, посоветуйте. Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение02.09.2008, 13:34 
Аватара пользователя
Докажите, что последовательность монотонно убывает и ограничена снизу.

 
 
 
 Re: Задача на сходимость
Сообщение02.09.2008, 13:36 
Аватара пользователя
bubu gaga писал(а):
Как такие вещи доказываются, посоветуйте. Спасибо!
Теорема о сжимающем отображении.

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 01:10 
Аватара пользователя
Продолжу здесь же. А вот для такой последовательности как доказать ограниченность сверху

$$ \sqrt{2}, \; \sqrt{2\sqrt{2}}, \; \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}, \; \dots $$

Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 01:16 
Замените последнюю двойку четверкой

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 10:39 
Аватара пользователя
Можно и не доказывать ограниченность сверху, а найти предел по другому.
$\[x_n  = \sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {...} } } } } \]$, тогда $\[x_{n + 1}  = \sqrt {2x_n } \]$. Возведем последнее равенство в квадрат и переходим к пределу при $\[n \to \infty \]$, получаем
$\[x^2  = 2x\]$
Откуда находим, что $x_n \to  2$ при $\[n \to \infty \]$

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 11:17 
Nikita.bsu писал(а):
Можно и не доказывать ограниченность сверху, а найти предел по другому.
$\[x_n  = \sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {...} } } } } \]$, тогда $\[x_{n + 1}  = \sqrt {2x_n } \]$. Возведем последнее равенство в квадрат и переходим к пределу при $\[n \to \infty \]$, получаем
$\[x^2  = 2x\]$
Откуда находим, что $x_n \to  2$ при $\[n \to \infty \]$

Доказывать надо. Иначе нельзя переходить в равенстве к пределу , не установив его существование.

bobo писал(а):
Замените последнюю двойку четверкой


Красиво!

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 11:41 
Аватара пользователя
venja писал(а):
Доказывать надо. Иначе нельзя переходить в равенстве к пределу , не установив его существование.

$$x_n=2^{1-\frac{1}{2^n}}$$

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 13:12 
Аватара пользователя
Я так доказал рост

$$ x_{n + 1} = \sqrt{2x_n} $$

Последовательность возрастающая для $x_1 > 0 $. А метод с четвёркой очень красивый. Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group