Вопрос по теории чисел

[RIP]

https://arxiv.org/abs/1103.2879
Из теоремы 13 (с. 13) следует, что найдутся $k,l=p/2+O\left(p^{3/4+\varepsilon}\right)$.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #1423720 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1423713 писал(а):

Предлагаю задачу попроще:
$(\forall p)(\exists k,l) kl\equiv 1\pmod p, |k-l|\leqslant 6$

Ну, это сильно проще: можно взять $k=l=1$ Но если добавить условие $k \not\equiv l \pmod{p}$, будет в самый раз.

Да, действительно, спасибо!

nnosipov в сообщении #1423720 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1423713 писал(а):

Проверил для $p\leqslant 10^5$ - верно

Верно для всех $p$. Ибо один из символов Лежандра $(2/p)$, $(5/p)$ и $(10/p)$ обязательно равен единице.

Понял, я не думал, что это решается из других соображений.
Тогда надо спрашивать прямо: а что вообще известно о распределении значений $x^{-1}\pmod p$? Поверхностный обзор старых учебников ничего не дал. Т.е. оно должно быть в целом равномерным, но насколько? Можно было пытаться получить решение исходной через это распределение.
Хотя последняя ссылка все надежды убивает на корню.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #1423752 писал(а):

Хотя последняя ссылка все надежды убивает на корню.

Надо сказать спасибо RIP за ссылку на этот солидный обзор, сам-то я поленился искать, хотя было ощущение, что подобными вопросами распределения раньше не могли не заинтересоваться.

[alisa-lebovski]

RIP в сообщении #1423738 писал(а):

https://arxiv.org/abs/1103.2879
Из теоремы 13 (с. 13) следует, что найдутся $k,l=p/2+O\left(p^{3/4+\varepsilon}\right)$.

Спасибо. Хотя мне пока это не очевидно. Буду разбираться.