Доказать, что функция возрастает

[Tnaidor]

Доброго времени суток, застрял в рассуждениях и прошу помощи коллектива.

Пусть есть непрерывная функция $f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$. Рассмотрим функцию $g(x) = f(x + M) - f(x), 0 < M < \infty$, при этом $\limsup_{x \to \infty}{g(x)} = A$ и $\liminf_{x \to \infty}{g(x)} = B$, где $A,B > 0$. То есть на словах, мы имеем непрерывную функцию на положительной части действительных чисел и видим, что для функции приращения (с фиксированным шагом) верхний и нижний пределы положительны. Как доказать, что функция $f$ возрастающая?

По моему это должно быть очевидно, ведь если посмотреть геометрически, то тогда "касательная" $\frac{f(x+M) - f(x)}{M}$, а потому функция не убывает (т.к. "(возможно очень) грубая производная" всюду положительна).

Есть ли у кого мысли как бы это доказать (или опровергнуть)? Это не задача, рассуждение навеяно самостоятельно, поэтому нужна ваша помощь. Спасибо всем.

[Dan B-Yallay]

Tnaidor в сообщении #1423528 писал(а):

Как доказать, что функция $f$ возрастающая?

По-моему никак, ибо просто неверно. Можно даже контрпример соорудить.

[DeBill]

Tnaidor
Ну, попробуйте, например, порассмотреть функцию $f(x)=x+2\sin x $ для разных $M$ (например, $2\pi$)...

[vpb]

Не возрастающая, наверное, а стремящаяся к $+\infty$, причем не медленнее, чем некоторая линейная функция. И всё-таки это задача, только не помню откуда.

Собственно, нашел: Архипов-Садовничий-Чубариков, задачи к 1-му коллоквиуму. (С небольшими вариациями).

[gris]

практически это похоже на рассуждения о тренде. то есть к функции тренда добавляется некоторая ограниченная добавка, которая может бешено осциллировать, но обеспечивает следование тренду с некоторыми усреднениями. все эти дела взаимно зависимы. Ну типа как график функции рисовать широкой кистью.

[Tnaidor]

vpb в сообщении #1423550 писал(а):

Собственно, нашел: Архипов-Садовничий-Чубариков, задачи к 1-му коллоквиуму. (С небольшими вариациями).

Рассуждения были навеяны задачей из Кудрявцева, там было о другом, но похоже и там для всякого $x$ предлагалось найти $M$. А я решил зайти с другой стороны, что верхний и нижний пределы положительны. Хотя есть чего-то похожее в листках, что значит задача обычна..

DeBill в сообщении #1423532 писал(а):

Ну, попробуйте, например, порассмотреть функцию $f(x)=x+2\sin x $ для разных $M$ (например, $2\pi$)...

Я вроде игрался с синусом, а такой пример не рассмотрел.. Вы правы, $2\pi$ и будет отрицательная константа. В следующий раз не подсказывайте так явно, пожалуйста, чтобы я уж сам додумался раз так все просто..

Прямо обидно, что не вышло..
Спасибо всем большое!

-- 02.11.2019, 08:34 --

gris в сообщении #1423555 писал(а):

практически это похоже на рассуждения о тренде. то есть к функции тренда добавляется некоторая ограниченная добавка, которая может бешено осциллировать, но обеспечивает следование тренду с некоторыми усреднениями. все эти дела взаимно зависимы. Ну типа как график функции рисовать широкой кистью.

Да, рассуждения об этом. Если конкретно, почему я вообще задал этот вопрос: мне было интересно, что будет если мы не производную (где эта  $M \to 0$) будем использовать для исследования поведения функции, а более грубую разницу, с большим шагом. Оно же ведь похоже на грубую линейную аппроксимацию..

-- 02.11.2019, 08:44 --

vpb в сообщении #1423550 писал(а):

Не возрастающая, наверное, а стремящаяся к $+\infty$, причем не медленнее, чем некоторая линейная функция.

Раз уж вы говорите, я правильно понимаю, что это доказывается? Это уже было бы похоже на некоторый результат.

[vpb]

Tnaidor в сообщении #1423557 писал(а):

Это уже было бы похоже на некоторый результат

Предполагать, что это был бы новый научный результат, было бы ошибочно, так как утверждение очень простое (стандартная задача в курсе матана 1-го семестра).

[Tnaidor]

vpb в сообщении #1423565 писал(а):

новый научный результат

vpb в сообщении #1423565 писал(а):

стандартная задача в курсе матана 1-го семестра

Не, я не претендую на открытия. Просто учу материал. Вот вы сказали, что элементарно, так я за минуту доказал и разобрался со всем остальным. Буду смелее..
Спасибо всем большое!