Экспоненциальное отображение на цилиндре

[supreme]

Добрый день. Предлагается вычислить $\exp_p v$ на цилиндре $x^2+y^2=1$ (будем обозначать его как $M$), где $p=(1,0,0), \, v = (0,1,1).$ По определению, $\exp_p v = \gamma(1)$, где $\gamma \; : \; [0,1] \to M$ - такая геодезическая, что $\gamma(0)=p, \, \dot{\gamma}(0) = v.$
Понятно, что вся задача заключается в вычислении этой геодезической. Я нашел следующее уравнение для ее вычисления:

$$\frac{d^2x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}= 0, \; k = \overline{1, n}$$

с соответствующими начальными условиями в нуле. Но тогда возникает другой вопрос: как вычислять символы Кристоффеля? Что означают индексы $i, \, j$ и $k$? Может быть, есть какой-то другой способ вычисления геодезической (или самой экспоненты)? Помогите разобраться.

[Утундрий]

supreme в сообщении #1423422 писал(а):

возникает другой вопрос: как вычислять символы Кристоффеля?

Найдите это там же, где нашли уравнение геодезической.

[Guvertod]

Другой способ получения уравнения геодезической - варьировать расстояние между точками, для этого формализм римановой геометрии не нужен.
Но у вас тут ситуация еще более простая, ведь цилиндр это свернутый лист, значит и прямые линии на нем и будут геодезическими. Только обдумайте это с учетом отождествления точек на склейке.

[supreme]

Насколько я знаю, экспонента действует из касательного пространства в точке $p$ в многообразие $M$ (в данном случае - в цилиндр). Касательное пространство здесь - просто плоскость $x=1$. Но точка $v$ не лежит в этой плоскости? Как тогда вообще понимать эту задачу? Поправьте меня, если я ошибаюсь.

[Guvertod]

supreme
$v$ - это вектор, а не точка, лежащий в касательном пространстве $p$. Видимо, записан в СК $x,y,z$.

[supreme]

Guvertod

Могу ли я понимать это так: раз $v = (0,1,1)$, то он "порождается" точками $p=(1,0,0)$ и точкой $(1,1,1) \in T_pM$. Если так, то $\exp_p(v)$ - это такая "проекция" этого вектора на $M$, то есть, получается, что $\exp_p(v) = (0,1,1) \in M$ (поскольку в этом случае геодезическая будет совпадать с окружностью $x^2+y^2=1$ в плоскости $z=0$) ?

UPD Написал глупость по поводу $\exp_p(v) = (0,1,1) \in M$. Но в целом, рассуждения правильные? Осталось только понять, какие будут координаты у точки $\exp_p(v)$?

-- 02.11.2019, 10:57 --

У меня получились следующие рассуждения.

Раз $v = (0, 1, 1),$ то он "заключен" между двумя точками $p = (1,0,0)$ и $s=(1, 1, 1)$, $p, \, s \in T_p M.$
Длина вектора $v$ равна $\sqrt{2}$. Получается, что $\exp_p(v)$ - это точка, удаленная по окружности $x^2+y^2 + 1$ в плоскости $z=0$ от точки $p$ на дугу длины $\sqrt{2}$. Таким образом, полученная точка имеет координаты $(\cos\sqrt{2},\sin\sqrt{2}, 0).$ Правильно?

[Guvertod]

supreme в сообщении #1423560 писал(а):

Могу ли я понимать это так: раз $v = (0,1,1)$, то он "порождается" точками $p=(1,0,0)$ и точкой $(1,1,1) \in T_pM$.

Нет, касательное пространство по определению - это пространство векторов, точек в нем нет.

supreme в сообщении #1423560 писал(а):

Если так, то $\exp_p(v)$ - это такая "проекция" этого вектора на $M$

Нет, нужно применить именно определение, для это найти геодезическую.

supreme в сообщении #1423560 писал(а):

У меня получились следующие рассуждения.

Это тоже неверно.

Вообщем, попробуйте представить картинку. Геодезические - это прямые на свернутом листе с учетом отождествления на склейке листа.
У вас есть точка и через нее в направлении $v$ "по диагонали" в данной точке идет геодезическая, как она продолжается дальше?
Ее еще надо параметризировать так, чтобы скорость по параметру была равна также и по модулю $v$. Дальше вы найдете искомую точку, в которую она придет при значении параметра $1$.

[supreme]

Guvertod

Картинку я себе хорошо представляю. Геодезической будет окружность $x^2+y^2=1$ в плоскости $z=0$ (другими словами, она будет идти по сечению цилиндра). Получается, (параметрическое) уравнение геодезической будет иметь вид:

$$x=\cos t, \, y=\sin t, \, z = 0.$$

При $t=0$ она как раз проходит через точку $p = (1, 0, 0) \in M$. Но ее производная $\dot{x} = -\sin t, \, \dot{y} = \cos t, \dot{z} = 0$ не будет в нуле совпадать с $v$. Получается, мне нужно так изменить $t\to at' + b$ чтобы ее производная в нуле совпала с $v$?

[Guvertod]

supreme
Если $v=(0,1,1)$, то это направление не по вдоль $y$, а "диагональ" между направлениями $y$ и $z$, геодезическая это не окружность в плоскости $z=0$, а винтовая линия.

[supreme]

Guvertod

Согласен. Уравнение геодезической $\gamma$ в этом случае следующее:
$$x = \cos t, \, y = \sin t, \, z = t.$ В нуле она равна $p$, ее производная в нуле равна $v$. Тогда $\gamma(1) = (\cos (1), \sin (1), 1).$ Правильно?

[Pphantom]

supreme, набирайте, пожалуйста, функции нормально (как $\cos t$ и т.п.). Один раз я поправил ваше сообщение сам, но делать это постоянно мне совсем не хочется.

[Guvertod]

supreme
Да.

[supreme]

Guvertod

Ну супер. Этот вид я нашел в одном источнике. Эти геодезическое получаются как решения уравнений $\frac{d^2u}{dt^2} = 0, \, \frac{d^2v}{dt^2} = 0,$ которые возникают из системы д.у. с символами Кристоффеля, с которых все и начиналось. Понятнее мне не стало, я просто узнал ответ.

[Guvertod]

supreme
Если вам ясно, что такое геодезическая, то в случае с цилиндром их вид должен быть достаточно очевидным "на пальцах", как я описывал.
Но, так, конечно, в общем случае их надо искать через уравнения.

Можно обсудить, что вам непонятно. Что за предмет вы изучаете и что читали? Известны ли вам такие понятия как метрика, метрический тензор? Знакомы ли вы с вариационным исчислением?

[supreme]

Guvertod

Я представляю, что такое геодезическая, и какие они могут быть на цилиндре, как Вы сказали, на пальцах: либо винтовые линии, либо окружности, либо образующие цилиндра. Не совсем понятно, как из этих представлений может вытекать конкретное уравнение для геодезической, ведь мне нужно именно это уравнение, чтобы в него подставлять единицу и вычислять экспоненту.

Метрика - да, конечно. Метрический тензор - ну не особо... меня очень пугают принятые обозначения с множеством индексов вокруг.