Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)

[bot]

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА НГУ 2019 г.

1 курс

1. Взяли 21 различных натуральных чисел, не превышающих 2019. Докажите, что из них можно выбрать числа $x, y, z,$ удовлетворяющие неравенствам $x<y<z,\, xz<2y^2.$

2. Пусть $a^2+b^2=c^2$ для натуральных чисел $a, b, c.$ Докажите, что $abc$ делится на $15$.

3. Пусть $a+b+c=0.$ Докажите, что $(a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5)\geqslant 0.$

4. На клетчатой бумаге произвольным образом отметили 2019 клеток. Какое наибольшее количество клеток, попарно не имеющих общих точек, можно гарантированно отыскать?

5. В треугольнике $ABC$, вписанном в окружность, $|AB|<|AC|.$ На стороне $AC$ взяли такую точку $D$, что $|AD|=|AB|.$ Докажите, что срединный перпендикуляр к отрезку $DC$ делит меньшую дугу $BC$ пополам.


2-4 курсы

1. Пусть подмножество $M\subset \mathbb R$ несчётно. Докажите, что найдётся конечное подмножество элементов $x_1,\ldots x_n\in M$ модуль суммы которых превзойдёт 2019.

2. Пусть $0<x<\frac\pi2$. Докажите, что $\sin x+ \tg x>2x$.

3. Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $[0;+\infty) $ и существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x).$ Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^{1}f(nx)\,dx=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).$

4. Найдите все действительные полиномы $p(x)$, удовлетворяющие тождеству

$$p'(x)p''(x)=\gamma p(x)p'''(x)$$

для некоторой $\gamma\in\mathbb R$.


5. Пусть для комплексных чисел $a_1, a_2,\,\ldots,\,a_n$ выполнены равенства

$$a_1^k+\ldots+a_n^k=0,\, k=1,2,\,\ldots,\,n.$$

Докажите, что $a_1=\ldots=a_n=0$.

[thething]

bot в сообщении #1422632 писал(а):

2. Пусть $0<x<\frac\pi2$. Докажите, что $\sin x+ \tg x>2x$.

Пусть $f(x)=\sin x+ \tg x-2x$, тогда $f(0)=0$. Далее, $f'(x)=\frac{\cos^3(x)-2\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}$ или $f'(t)=\frac{t^3-2t^2+1}{t^2}=\frac{(t-1)(t^2-t-1)}{t^2}>0$ при $0<t<1$.

bot в сообщении #1422632 писал(а):

3. Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $[0;+\infty) $ и существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x).$ Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^{1}f(nx)\,dx=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).$

Выполним замену $y=nx$ и применим теорему Штольца: $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{\int\limits_{0}^{n}f(y)dy}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}^{}\int\limits_{n}^{n+1}f(y)dy=\lim\limits_{n\to\infty}^{}f(\xi_n)=\lim\limits_{x\to\infty}^{}f(x)$. Последнее -- в силу определения предела по Гейне, $n\leq\xi_n\leq n+1$.

[iou]

bot в сообщении #1422632 писал(а):

5. Пусть для комплексных чисел $a_1, a_2,\,\ldots,\,a_n$ выполнены равенства

$$a_1^k+\ldots+a_n^k=0,\, k=1,2,\,\ldots,\,n.$$

Докажите, что $a_1=\ldots=a_n=0$

$p_k (a_1, .., a_n) = 0$ при $k =1, 2, .., n$, поэтому $e_k (a_1, .., a_n) = 0$ при $k=1, 2, .., n,$ в частности, $a_1 \cdot .. \cdot a_n = 0$.

[arqady]

bot в сообщении #1422632 писал(а):

2. Пусть $0<x<\frac\pi2$. Докажите, что $\sin x+ \tg x>2x$.

$$2\sin{x}+\tg{x}>3x$$

чуть сильнее

[TOTAL]

thething в сообщении #1422637 писал(а):

Пусть $f(x)=\sin x+ \tg x-2x$, тогда $f(0)=0$. Далее, $f'(x)=\frac{\cos^3(x)-2\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}$ или $f'(t)=\frac{t^3-2t^2+1}{t^2}=\frac{(t-1)(t^2-t-1)}{t^2}>0$ при $0<t<1$.

Пусть $f(x)=\sin x+ \tg x-2x$, тогда $f(0)=0$. Далее, $f'(x)=\cos(x)+\frac{1}{cos^2(x)} -2 \ge 2 \sqrt {\cos(x) \cdot \frac{1}{cos^2(x)}} - 2 \ge 0$
(аналогично чуть более сильное)

[TOTAL]

bot в сообщении #1422632 писал(а):

5. Пусть для комплексных чисел $a_1, a_2,\,\ldots,\,a_n$ выполнены равенства

$$a_1^k+\ldots+a_n^k=0,\, k=1,2,\,\ldots,\,n.$$

Докажите, что $a_1=\ldots=a_n=0$.

$$a_1^k \cdot 1+\ldots+a_n^k \cdot 1=0,\, k=1,2,\,\ldots,\,n.$$

Если числа различны и не равны нулю, то однородная система уравнений (с невырожденной матрицей) имеет ненулевое решение.
Если встречаются числа одинаковые, то аналогично (только решением будет вектор не из единиц и размер матрицы поменьше).

bot в сообщении #1422632 писал(а):

5. В треугольнике $ABC$, вписанном в окружность, $|AB|<|AC|.$ На стороне $AC$ взяли такую точку $D$, что $|AD|=|AB|.$ Докажите, что срединный перпендикуляр к отрезку $DC$ делит меньшую дугу $BC$ пополам.

Продлим $AD$ до пересечения окружности в точке $M$
Точка $M$ лежит на срединном перпендикуляре к отрезку $DC$
Дальше все понятно.

[TOTAL]

bot в сообщении #1422632 писал(а):

4. На клетчатой бумаге произвольным образом отметили 2019 клеток. Какое наибольшее количество клеток, попарно не имеющих общих точек, можно гарантированно отыскать?

12
34

Всю плоскость замостим вот такими плитками.
Найдутся 505 клеток с одинаковыми номерами.
(Я скоро олимпиаду НГУ выиграю )

[mihiv]

4. Найдите все действительные полиномы $p(x)$, удовлетворяющие тождеству

$$p'(x)p''(x)=\gamma p(x)p'''(x)\eqno (1)$$

для некоторой $\gamma\in\mathbb R$.

Полином первой степени годится при любых $\gamma $, полином второй степени не подходит. Рассмотрим полиномы степени $n>2$.
Сравнивая коэффициенты при наибольшей степени $x$, получим $\gamma =\dfrac n{n-2}.$ Из (1):

$$\dfrac 1{\gamma }\dfrac {p'}p=\dfrac {p'''}{p''}\eqno (2)$$откуда$$p''=Cp^{\dfrac 1{\gamma }}=Cp^{\dfrac {n-2}n}\eqno (3)$$

В левой части равенства (3) полином степени $n-2$. Для того, чтобы полином той же степени был справа, $p(x)$ должен иметь вид $p(x)=(ax+b)^n$. Полином такого вида действительно удовлетворяет равенству (1).

[svv]

mihiv в сообщении #1422859 писал(а):

Для того, чтобы полином той же степени был справа, $p(x)$ должен иметь вид $p(x)=(ax+b)^n$.

Если $n$ четно, $p^{\frac {n-2}n}$ будет полиномом нужной степени и для $p(x)=(ax+b)^{\frac n 2}(cx+d)^{\frac n 2}$.

[SomePupil]

ЗУ не расписывают решения первых задач, потому что не к лицу им решать утешительные задачи) Что ж, я далеко не ЗУ, так что:

bot в сообщении #1422632 писал(а):

1. Пусть подмножество $M\subset \mathbb R$ несчётно. Докажите, что найдётся конечное подмножество элементов $x_1,\ldots x_n\in M$ модуль суммы которых превзойдёт 2019.

Возьмем счетную последовательность $r_n\to 0, r_n > 0.$ Множества $M_n = \{x\in M\colon |x| > r_n\}$ в объединении составляют $M.$ Если бы каждая из них была конечна, то исходное множество $M$ было бы не более, чем счетным. Дальнейшее понятно.

[mihiv]

svv в сообщении #1422928 писал(а):

Если $n$ четно, $p^{\frac {n-2}n}$ будет полиномом нужной степени и для $p(x)=(ax+b)^{\frac n 2}(cx+d)^{\frac n 2}$.

Да, эти полиномы я проглядел. Но их учитывать не нужно.
Из равенства (3) следует, что полиномы $p''$ и $p^{\frac 1{\gamma }}$ должны совпадать с точностью до постоянного множителя, поэтому они должны иметь одинаковые корни (в том числе и одинаковые кратности корней).
Если же мы возьмем полином вида $p(x)=(ax+b)^{\frac n2}(cx+d)^{\frac n2}$, то $p''$ имеет дополнительные корни по сравнению с $p^{\frac 1{\gamma }$, кратности тоже не совпадают.
Например, при

$$n=6, p^{\frac 1{\gamma }}=(ax+b)^2(cx+d)^2, p''=6(ax+b)(cx+d)[[a(cx+d)+c(ax+d)]^2+ac(ax+b)(cx+d)]$$

Видно, что полиномы $p''$ и $p^{\frac 1{\gamma }$ различны.

[bot]

СИБИРСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2019 г.
(10 ноября - завершена)

1. Найдите период повторения последней цифры в последовательности Фибоначчи

$$F_1=F_2=1,\, F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\,\, (n>1).$$

2. Даны квадратные трехчлены $f(x)$ и $g(x)$. Известно, что квадратные трехчлены $3f(x)+g(x)$ и $f(x)-g(x)$ имеют по одному корню, а $f(x)$ имеет два корня. Докажите, что квадратный трехчлен $g(x)$ не имеет корней.

3. Сколько действительных корней имеет уравнение $ 1+\frac x 1+\ldots +\frac {x^n}n=0?$


4. Пусть $x_i=\pm 1,\, i=1,2,\ldots, n$ и

$$x_1x_2x_3x_4+x_2x_3x_4x_5+\ldots+x_{n-1}x_{n}x_1x_{2}+x_{n}x_{1}x_2x_{3}=0.$$

Для каких $n$ это возможно?


5. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника $ABCD$ не превосходит

$$\frac{\mid AB\mid\cdot \mid CD\mid + \mid AD\mid\cdot \mid BC\mid}2.$$

2-4 курсы (для вузов с профилирующей математикой (МП))


1. Сходится ли ряд

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln^21+\ln^22+\ldots +\ln^2 n}?$$

2. Пусть непрерывная на $[a;b]$ функция $f$ строго возрастает. Докажите, что для любого $c\in (a;b)$ справедливо неравенство

$$\frac{1}{c-a}\int\limits_a^cf(x)\,dx<\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx\,.$$

3. Пусть непрерывная на отрезке $[0;1]$ функция $f$ положительна во внутренних точках и обращается в ноль на концах. Докажите, что существует квадрат, две вершины которого лежат на оси абсцисс, а две другие - на графике $y=f(x).$



4. Докажите, что определитель целочисленной симметрической матрицы нечётного порядка с чётными числами на главной диагонали является чётным числом.

5. Докажите, что из 50 различных трёхзначных чисел можно выбрать четыре различных числа $a, b, c, d$, для которых выполняется равенство $a + b = c + d.$


2-4 курсы (не МП)

1. Пусть $A^3=0$ для квадратной матрицы $A.$ Докажите, что матрица $A+\lambda E$ вырождена тогда и только тогда, когда $\lambda=0$.

2. Пусть функция $f$ непрерывна на множестве действительных чисел. Докажите, что уравнение $f(x^2)+2x^2=f(3x-2)+3x$ имеет решение.


3. Из равноудалённых от прямых $y=x-5$ и $y=7x-41$ точек выберите точку, ближайшую к началу координат.


4. Вычислите интеграл

$$I=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,dx$$

5. На плоскости расположены две различные точки $B$ и $C.$ Взяв произвольно точку $A_0$, построим последовательность точек $A_n$ по правилу:

$$\begin{matrix}A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, CA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\, \text{нечётном}\\ A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, BA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\, \text{чётном}\end{matrix}$$

Докажите сходимость и найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\mid A_nA_{n+1}\mid.$

[waxtep]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

3. Из равноудалённых от прямых $y=x-5$ и $y=7x-41$ точек выберите точку, ближайшую к началу координат.

$(10/17,40/17)$ (точка на биссектрисе тупого угла между прямыми; та, что на биссектрисе острого - подальше)

[iifat]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

2. Пусть непрерывная на $[a;b]$ функция $f$ строго возрастает

$\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx=\frac1{b-a}\left((c-a)\frac1{c-a}\int\limits_a^cf(x)\,dx+(b-c)\frac1{b-c}\int\limits_c^bf(x)\,dx\right)=\frac1{b-a}\left((c-a)f(\xi_1)+(b-c)f(\xi_2)\right)$, $a<\xi_1<c<\xi_2<b$

[thething]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

4. Вычислите интеграл

$$I=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,dx$$

Замена $x=\pi-y$.