Почему уравнение Ляме 2-го порядка, а изгиба стержня- 4-го?

[timn]

Рассмотрим изотропный однородный материал. Как известно, его деформированное состояние описывается уравнением Ляме

\[ \rho \frac{{\partial ^2 \vec u}}{{\partial t^2 }} = G \cdot \Delta \vec u + (\lambda + G)\vec \nabla {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \vec f \]

. Оно 2-го порядка по координате. В то же время, при расчете формы изгиба стержня применяют как привило (см. Ландау, например) совсем другое уравнение

\[ EI \cdot X'''' - \rho S\ddot X = K_X \]

- 4-го (!) порядка по координате. П О Ч Е М У ???????

[Munin]

Я бы предположил, что потому, что это уравнение не в частных производных, а обыкновенное. За счёт уменьшения количества искомых функций может возрасти порядок уравнения, например, система ОДУ первого порядка для 2n функций может быть иногда быть преобразована в систему ОДУ второго порядка для n функций (и всегда - наоборот).

[AlexNew]

как можно перейти от УЧП к ОДУ ?

для УЧП можно подобрать симметричмую задачу и переити к ОДУ, но это частный случай,
порядок не изменится

Ксттати второе уравнение тоже УЧП, там две разных производных: по времени и координате

[Munin]

AlexNew в сообщении #142208 писал(а):

как можно перейти от УЧП к ОДУ ?

ДУЧП записано для среды, а ОДУ - для тонкого стержня. Распределение всех функций по нему в поперечном направлении практически линейно (или квадратично), и не заслуживает отдельного анализа. Остаётся одна продольная переменная.

AlexNew в сообщении #142208 писал(а):

Ксттати второе уравнение тоже УЧП, там две разных производных: по времени и координате

Да, не заметил. Тогда речь о том, что первое - ДУЧП в трёх координатах, а второе - в одной (плюс время и там и там).

[Андрей123]

timn писал(а):

Рассмотрим изотропный однородный материал. Как известно, его деформированное состояние описывается уравнением Ляме

\[ \rho \frac{{\partial ^2 \vec u}}{{\partial t^2 }} = G \cdot \Delta \vec u + (\lambda + G)\vec \nabla {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \vec f \]

. Оно 2-го порядка по координате. В то же время, при расчете формы изгиба стержня применяют как привило (см. Ландау, например) совсем другое уравнение

\[ EI \cdot X'''' - \rho S\ddot X = K_X \]

- 4-го (!) порядка по координате. П О Ч Е М У ???????

Потому, что оно получено из уравнения второго порядка дифференцированием. См.
Работнов Ю.Н. "Механика деформируемого твёрдого тела". А делалось это по той причине, что иногда балее удобно считать заданным не изгибающий момент, а нагрузку.

[ae]

timn в сообщении #142185 писал(а):

П О Ч Е М У ???????

1. Эти два уравнения выведены совершенно независимо друг от друга. Более того, понадобилось более 150 лет, чтобы только показать, что одно к другому все-таки сводится.

2. Уравнение Лямэ - это запись баланса сил для малого элемента объема упруго среды, причем сами силы (напряжения) пропорциональны деформации среды - т.е. выражаются через первую производную поля смещений. Т.о. одно диффернцирование, чтобы перейти от смещений к напряжениям, второе - чтобы записать баланс сил.
Отличие малого элемента стержня от малого элемента сплошной среды в том, что у второго распределения напряжений и деформаций внутри элемента можно считать более или менее однородным и поэтому ограничиться только простейшими деформационными модами этого элемента: растяжение/сжатие и перекос, в случае же с элементом стержня этого сделать уже нельзя: распределение деформаций и напряжений в пределах стержня существенно неоднородно, для стержня необходимо учитывать также и "изгибные" моды деформирования. В результате перерезывающие силы, действующие на малый элемент стержня (направленные поперек срединной линии стержня) оказываются пропорциональны не первой, а третьей производной смещения.
Уравнение изгиба стержня - это также запись баланса перерезывающих сил. Это одно дифференцирование. Перерезывающая сила выражается через дисбаланс изгибающих моментов - это второе дифференцирование. Моменты же пропорциональны второй производной смещения - еще два дифференцирования.

[Zai]

ae писал(а):

Эти два уравнения выведены совершенно независимо друг от друга. Более того, понадобилось более 150 лет, чтобы только показать, что одно к другому все-таки сводится.

Не могли бы Вы показать эту сводимость хотя бы для плоской геометрии. Это не так просто. Есть ли у Вас ссылки?

[Munin]

ae
Картинку какую-нибудь приведёте, чтобы наглядно видно было перерезывающие силы?

[timn]

ae писал(а):

1. Эти два уравнения выведены совершенно независимо друг от друга. Более того, понадобилось более 150 лет, чтобы только показать, что одно к другому все-таки сводится.

2. Уравнение Лямэ - это запись баланса сил для малого элемента объема упруго среды, причем сами силы (напряжения) пропорциональны деформации среды - т.е. выражаются через первую производную поля смещений. Т.о. одно диффернцирование, чтобы перейти от смещений к напряжениям, второе - чтобы записать баланс сил.
Отличие малого элемента стержня от малого элемента сплошной среды в том, что у второго распределения напряжений и деформаций внутри элемента можно считать более или менее однородным и поэтому ограничиться только простейшими деформационными модами этого элемента: растяжение/сжатие и перекос, в случае же с элементом стержня этого сделать уже нельзя: распределение деформаций и напряжений в пределах стержня существенно неоднородно, для стержня необходимо учитывать также и "изгибные" моды деформирования. В результате перерезывающие силы, действующие на малый элемент стержня (направленные поперек срединной линии стержня) оказываются пропорциональны не первой, а третьей производной смещения.
Уравнение изгиба стержня - это также запись баланса перерезывающих сил. Это одно дифференцирование. Перерезывающая сила выражается через дисбаланс изгибающих моментов - это второе дифференцирование. Моменты же пропорциональны второй производной смещения - еще два дифференцирования.

т.е. уравнение Ляме имеет существенно ограниченную область применимости?

Собственно этот вопрос возник вот в связи с чем: мне нужно расчитать основные частоты собственных колебаний: а) цилиндрической трубы, один конец которой закреплен, а второй - свободен; б) той же трубы, заполненной материалом с малыми, но отличными от нуля модулями упругости.
Я написал прогу, которая решает методом конечных элементов уравнения Ляме, но найденные с ее помощью частоты для стержня (!) оказываются отличными от результата аналитического решения (на базе уравнения 4-го порядка)...

[Андрей123]

Приведенное уравнение и уравнения Ламе являются уравнениями равновесия. Причем уравнения Ламе более общие, а приведенное уравнение выводится вследствии некоторых предположений(гипотеза плоских сечений и т.д.). Пример вывода этого уравнения из общего вариационного принципа Лагранжа приведен в указанной мною книге(глава 12).

[Munin]

timn в сообщении #142347 писал(а):

Я написал прогу, которая решает методом конечных элементов уравнения Ляме, но найденные с ее помощью частоты для стержня (!) оказываются отличными от результата аналитического решения (на базе уравнения 4-го порядка)...

Скорее всего, вы гоняете её при других условиях, чем при которых выводится это уравнение четвёртого порядка. Сюда копайте: что мало, что велико, чем пренебрегается, чем нет, гранусловия и линеаризации... Может, численный метод врёт, на это тоже проверьте.

[ae]

Zai в сообщении #142322 писал(а):

Не могли бы Вы показать эту сводимость хотя бы для плоской геометрии. Это не так просто. Есть ли у Вас ссылки?

Я буду говорить о тонких пластинках, про стержни просто не знаю, но там все аналогично должно быть.
Это не просто, иначе не потребовалось бы полторы сотни лет.
Основная проблема - на границах, в граничных условиях. Т.е. вывести уравнение изгиба из уравнений теории упругости несложно, этот вывод есть в любом учебнике, хоть в Ландавшице. Но корректно свести граничные условия не удавалось очень долго. Сделал это А.Л. Гольденвейзер.
Ссылки: А.Л. Гольденвейзер, Теория упругих тонких оболочек,
Москва, 1953 (книга есть в электронном виде в библиотеке колхоза);
Гольденвейзер А.Л. , ПММ, 1962, т.26 вып.4; Гольденвейзер А.Л. , ПММ, 1965, т.29. Я бы наверное порекомендовал статью в ПММ, 1962, т.26 вып.4.

Общая схема доказательства следующая: ищется решение 3D задачи теории упругости для тонкой пластинки. Толщина пластинки предполагается малой, поэтому мы имеем в этой задаче малый параметр, что и используется в дальнейшем. Тензор напряжений представляется в виде разложения по степеням толщины пластинки. Производится замена переменной z->z/h, h - толщина пластинки (т.е. скейлинг по переменной z). Приравниваются коэф. при одинаковых степенях h. Получаем уравнения изгиба тонкой пластины, но не только.
Оказывается, что напряжения, возникающие при изгибе тонкой пластинки составляются из 3 компонент: основного напр. состояния, описываемого обычным уравнением изгиба пластинки, и распространяющегося на всю пластинку, а также двух краевых напряженных состояний, локализующихся вблизи краев пластинки или к-л линий искажения: напр. сост. краевого скручивания и напр. состояния краевой плоской деформации.
Именно в этих последних двух напр. сост. и состояла основная трудность, без их учета ничего не получалось.

Добавлено спустя 12 минут 43 секунды:

Munin в сообщении #142323 писал(а):

Картинку какую-нибудь приведёте, чтобы наглядно видно было перерезывающие силы?

Не знаю как вставляются картинки. Для пластинки, лежащей горизонтально, перерезывающие силы направлены вертикально. Для стержня - перпендикулярно срединной линии стержня.

timn в сообщении #142347 писал(а):

.е. уравнение Ляме имеет существенно ограниченную область применимости?

Да, конечно, как и всякое уравнение. Но оно более общее, нежели уравнение изгиба стержня.

timn в сообщении #142347 писал(а):

мне нужно расчитать основные частоты собственных колебаний: а) цилиндрической трубы, один конец которой закреплен, а второй - свободен; б) той же трубы, заполненной материалом с малыми, но отличными от нуля модулями упругости.
Я написал прогу, которая решает методом конечных элементов уравнения Ляме, но найденные с ее помощью частоты для стержня (!) оказываются отличными от результата аналитического решения (на базе уравнения 4-го порядка)...

Вы решали 3D уравнение Лямэ или 1D? Если 3D - нужно много элементов по радиусу, чтобы почувствовать изгибные моды, если 1D -нужно специально добавлять дополнительные моды деформирования элементов, т.е. Ваши конечные элементы должны "уметь" не только растягиваться или перекашиваться, но и изгибаться и перекручиваться.

[Munin]

ae в сообщении #142386 писал(а):

Тензор напряжений представляется в виде разложения по степеням толщины пластинки. ...h - толщина пластинки... Приравниваются коэф. при одинаковых степенях h.

И до каких степеней производится разложение?

ae в сообщении #142386 писал(а):

Не знаю как вставляются картинки.

Воспользуйтесь http://**invalid link**/ - там вариант for forums 1.

ae в сообщении #142386 писал(а):

Но оно (уравнение Ляме - М.) более общее, нежели уравнение изгиба стержня.

А включает одна область применимости другую, или они пересекаются, но не включаются полностью?

[Zai]

timn писал(а):

Я написал прогу, которая решает методом конечных элементов уравнения Ляме, но найденные с ее помощью частоты для стержня (!) оказываются отличными от результата аналитического решения (на базе уравнения 4-го порядка)...

Известные пакеты МКЭ (Ansys, Abaqus, LS-Dyna, Cosmos, MSC Nastran) дают хорошее совпадение результатов с аналитическим решением для стержня. При расчете колебаний стержня оболочечными элементами ( в Вашем случае элемента тонкостенной трубы) при очень тонкой стенке могут наблюдаться отклонения от формы стержня, если собственные частоты сечения трубы сопоставимы с собственными частотами стержневой формы колебаний.

[timn]

ae писал(а):

timn в сообщении #142347 писал(а):

т.е. уравнение Ляме имеет существенно ограниченную область применимости?

... Но оно более общее, нежели уравнение изгиба стержня.

Андрей123 писал(а):

Причем уравнения Ламе более общие, а приведенное уравнение выводится вследствии некоторых предположений(гипотеза плоских сечений и т.д.). Пример вывода этого уравнения из общего вариационного принципа Лагранжа приведен в указанной мною книге(глава 12).

ВОТ! я очень хотел услышать именно это

Добавлено спустя 5 минут 56 секунд:

ae писал(а):

Вы решали 3D уравнение Лямэ или 1D?

Я решаю 3D (

\[ \vec u = \vec u(\vec r) \]

) уравнение

ae писал(а):

Если 3D - нужно много элементов по радиусу, чтобы почувствовать изгибные моды....

именно по радиусу, или по полярному углу?
практика показывает, что результат вычислений действительно существенным образом зависит от "мелкости" разбиения.

Как Вы думаете, то что я использую для апроксимации компонент вектора смещения линейные (в границах данного конечного элемента) по каоординатам функции (ведь для уравнения Ляме, 2-го порядка, этого должно быть достаточно...) не может пагубно отразится на результате?

Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

Zai писал(а):

Известные пакеты МКЭ (Ansys, Abaqus, LS-Dyna, Cosmos, MSC Nastran) дают хорошее совпадение результатов с аналитическим решением для стержня. При расчете колебаний стержня оболочечными элементами ( в Вашем случае элемента тонкостенной трубы) при очень тонкой стенке могут наблюдаться отклонения от формы стержня, если собственные частоты сечения трубы сопоставимы с собственными частотами стержневой формы колебаний.

Спасибо за Ваш пост:!: теперь и я знаю про эти МКЭ-пакеты до этого я только FlexPDE знал...

а какой порекомендуете для расчета частоты собственных колебаний? или существенной разницы нет?