Почему уравнение Ляме 2-го порядка, а изгиба стержня- 4-го?

[Munin]

timn в сообщении #142525 писал(а):

ВОТ! я очень хотел услышать именно это

А что, вывод уравнения в Ландау-Лифшице вас не устроил?

timn в сообщении #142525 писал(а):

Как Вы думаете, то что я использую для апроксимации компонент вектора смещения линейные (в границах данного конечного элемента) по каоординатам функции (ведь для уравнения Ляме, 2-го порядка, этого должно быть достаточно...) не может пагубно отразится на результате?

Зависит, сколько у вас элементов умещается поперёк стержня. Если слишком мало - очевидно, отразится пагубно.

[Zai]

timn писал(а):

а какой порекомендуете для расчета частоты собственных колебаний? или существенной разницы нет?

Но одной и той же конечно-элементной модели Вы вряд ли обнаружите существенные расхождения. Программа LS-Dyna явная и в ней нет расчета частот и форм колебаний. Проверку можно сделать только по динамическому отклику на внешнее воздействие в сравнении с аналитическим решением.

[ae]

Munin в сообщении #142392 писал(а):

каких степеней производится разложение?

До каких сил хватит. В первом приближении можно ограничиться наинизшими степенями, получим теорию Лява, она же гипотеза Кирхгофа, она же гипотеза плоских сечений. Если дальше продолжать - получим уточнящие поправки, все как обычно.

Munin в сообщении #142392 писал(а):

А включает одна область применимости другую, или они пересекаются, но не включаются полностью?

Раньше области применения почти не пересекались, а сейчас, когда компьютеры набрали мощность народ пытается заменить "приближенную" теорию "точными" уравнениями - но чаще неудачно. Впрочем, из общих соображений ничего этому не препятствует, надо только элементов побольше брать в вычислительной сетке, а вот для этого в трехмерной задаче даже сейчас не у каждого компьютера мощности хватит, увы. Можно добавить дополнительные моды деформирования: изгиб, скручивание, тогда все неплохо выходит и при не очень большом количестве элементов, но это уже не есть решение уравнения Лямэ в чистом виде.

Добавлено спустя 5 минут 17 секунд:

timn в сообщении #142525 писал(а):

Как Вы думаете, то что я использую для апроксимации компонент вектора смещения линейные (в границах данного конечного элемента) по каоординатам функции (ведь для уравнения Ляме, 2-го порядка, этого должно быть достаточно...) не может пагубно отразится на результате?

Это вряд-ли.

На самом деле я не очень понял какие колебания Вы рассматриваете: радиальные, продольные, поперечные, скручивания?
Труба тонкостенная или толстостенная (можно ли пренебречь деформациями срединной поверхности металлической пластинки из которой сделана труба)?

Добавлено спустя 21 минуту 37 секунд:

Zai в сообщении #142414 писал(а):

Известные пакеты МКЭ (Ansys, Abaqus, LS-Dyna, Cosmos, MSC Nastran) дают хорошее совпадение результатов с аналитическим решением для стержня.

Про всех не знаю, а ANSYS, например, использует для расчета балок специальные балочные элементы, т.е. по сути решает не общее уравнение Лямэ, а собственно уравнение изгиба балки

[Munin]

ae в сообщении #142651 писал(а):

До каких сил хватит. В первом приближении можно ограничиться наинизшими степенями, получим теорию Лява, она же гипотеза Кирхгофа, она же гипотеза плоских сечений. Если дальше продолжать - получим уточнящие поправки, все как обычно.

Не, имеется в виду для получения уравнения изгиба стержня, как оно приведено в начале темы. Или это одно из вами перечисленных?

[Eugeen1948]

Цитата:

Собственно этот вопрос возник вот в связи с чем: мне нужно расчитать основные частоты собственных колебаний: а) цилиндрической трубы, один конец которой закреплен, а второй - свободен; б) той же трубы, заполненной материалом с малыми, но отличными от нуля модулями упругости.
Я написал прогу, которая решает методом конечных элементов уравнения Ляме, но найденные с ее помощью частоты для стержня (!) оказываются отличными от результата аналитического решения (на базе уравнения 4-го порядка).

Давайте рассуждать и строить расчетную схему.
Похожие проблемы (нелинейная задача двухфазной гидродлинамики, теплообмена и нейтронной кинетики описываемая системой УЧП) я решал так.
УЧП со всеми граничными условиями дискретизировались по пространству какой либо схемой (неважно с какой степенью точности, это оставим на потом) и система сводилась к системе ОДУ первого порядка в канонической форме (это когда все временные производные без коэффициентов в левой части). Затем находилась матрица Якоби правых частей системы ОДУ. Я делал это численно, но точнее было бы аналитически хотя на практике это не слишком загрубляет конечный результат.
И, наконец, вычисляется спектр этой матрицы Якоби правых частей ОДУ. Для Вашей задачи он конечно комплексный. Это и есть спектр искомых собственных частот, вернее часть его. Поскольку для УЧП спектр бесконечный, то Вы сможете определять такой схемой только часть этого спектра. Интересно, что чем больше дискретизация, тем точнее Вы вычисляете начальную часть спектра и получаете дополнительные частоты, и наступает момент, когда первые частоты (СЗ матрицы) перестают изменяться с повышением степени дискретизации. В этот момент Вы и прекращаете уточнения.

Добавлено спустя 2 минуты 59 секунд:

[quote="ae"]
Ае - АУ! Как поживает друг-Платон?

[timn]

ae писал(а):

На самом деле я не очень понял какие колебания Вы рассматриваете: радиальные, продольные, поперечные, скручивания?
Труба тонкостенная или толстостенная (можно ли пренебречь деформациями срединной поверхности металлической пластинки из которой сделана труба)?

Я рассматриваю поперечные колебания. Реально с одного из концов в трубу вставлена затычка и снаружи обжата (тисками). С другого конца вставлена затычка и прикреплена катушка (подключенная к генератору), которая, будучи во внешнем магнитном поле, воздуждает колебания трубы. Отсюда делаем вывод про граничные условия (для уравнения Ляме я брал: на заделанном конце вектор смещения фиксирован равным нулю, на свободном конце - задана (в виде компоненты тензора напряжений) сила; ставя в программе внутренний радиус близким к нулю вычисленную частоту сравнивал с результатом аналитического решения для стержня по уравнению 4-го порядка и граничными условиями: на одном конце смещение и его производная равны нулю, на другом - нулю равны сила и момент - вторая и третья производные).

Труба тонкостенная, только не из металла, а из довольно мягкого полимера (так что затухание тоже есть и немалое)

[Zai]

ae писал(а):

Про всех не знаю, а ANSYS, например, использует для расчета балок специальные балочные элементы, т.е. по сути решает не общее уравнение Лямэ, а собственно уравнение изгиба балки

Колебания трубы можно анализировать и оболочечными элементами в том числе и в пакете ANSYS.

В ссылке http://e-strength.ru/mydemo.files/frame.htm - слайд 18 можно посмотреть вариант конечно-элементной модели.

[timn]

Zai писал(а):

Колебания трубы можно анализировать и оболочечными элементами в том числе и в пакете ANSYS.

В ссылке http://e-strength.ru/mydemo.files/frame.htm - слайд 18 можно посмотреть вариант конечно-элементной модели.

А не подскажите какую-то доку по ANSYS уровня "первое знакомство"?...

[ae]

Munin в сообщении #142652 писал(а):

Не, имеется в виду для получения уравнения изгиба стержня, как оно приведено в начале темы. Или это одно из вами перечисленных?

Так и есть. Уравнение изгиба стержня получается из гипотезы плоских сечений (она же гипотеза Кирхгофа), предполагающей линейную зависимость продольных напряжений от поперечной координаты. Т.е. для продольных нормальных компонент тензора напряжений ограничиваемся линейным членом разложения в ряд Тейлора по поперечной координате. Для касательных компонент мы вынуждены будем взять квадратичный член, чтобы удовлетворить граничным условиям на боковых поверхностях стержня. Впрочем, в "стандартной" теории (т.е. в максимально упрощенной) стержней касательные компоненты выражают через нормальные из условия равенства нулю суммарного момента и забывают про них.

Zai в сообщении #142695 писал(а):

Колебания трубы можно анализировать и оболочечными элементами

Да, конечно. Для тонкостенной трубы все будет хорошо, а для толстостенной уже не пройдет, т.к. оболочечные элементы (насколько я понимаю) - это безмоментая теория оболочек, значит мы оставляем только растяжение/сжатие и пренебрегаем сдвигами.

timn в сообщении #142661 писал(а):

ставя в программе внутренний радиус близким к нулю вычисленную частоту сравнивал с результатом аналитического решения для стержня по уравнению 4-го порядка

Т.е. в тестовом случае сравнивается решения именно для стержня. Поэтому надо брать много элементов по радиусу (и по полярному углу тоже), чтобы "почувствовать" распределение напряжений поперек стержня (либо добавлять изгибные моды).
Но, с другой стороны, если в исходной задаче труба тонкостенная, - мы имеем дело, скорее не со стержнем, а с оболочкой. Может и тестовую задачу взять не из теории стержней, а из теории оболочек, может там все сойдется и так?

[Zai]

ae писал(а):

оболочечные элементы (насколько я понимаю) - это безмоментая теория оболочек,

Безмоментная оболочка - мембрана.
В большинстве МКЭ присутствует изгибно-мембранный элемент.

Добавлено спустя 2 минуты 48 секунд:

timn писал(а):

А не подскажите какую-то доку по ANSYS уровня "первое знакомство"?...

В директории любой версии ANSYS \v81\ANSYS\data\verif\ есть 250 примеров.

[eugrita]

Андрей123 в сообщении #142238 писал(а):

уравнение \[ EI \cdot X'''' - \rho S\ddot X = K_X \]

вопрос связанный с этим ли уравнением или с нелинейным аналогом
Работнов совершенно логично интегрирует его по s от 0 до L/2
Я знаю другой вида уравнения 2-шарнирного стержня
$y^{''}+k^2y(1+y^{'2})^{1.5}=0$
Здесь интегрирование идет не по линии прогиба стержня а горизонтальной оси.
Полагаю в этом случае интегрирование надо проводить до некоего
$L_k<L$ где Lk определяется из усл неизменности длины дуги стержня.
Т.е. одна из опор должна быть шарнирно-подвижной
В то же время получил замечание от автора пособия, что
"Неизменность расстояния между опорами L -является постулатом физики деформирования стержня"

[Парджеттер]

Тема из Физики перемещена в Механику и Технику