критерий выбора знака при решении уравнений 4 степени

[mihiv]

Someone в сообщении #1379126 писал(а):

mihiv в сообщении #1379079 писал(а):

$$\frac 14\left (\left (a+p\right )^2-\frac {q^2}{a^2}\right )=r,$$

Явная опечатка: должно быть

$$\frac 14\left((a^2+p)^2-\frac{q^2}{a^2}\right)=r.$$

Someone, да, конечно, спасибо.

[dmd]

dmd в сообщении #1378499 писал(а):

Поправьте меня если не прав, но по-моему уравнение 4-й степени тригонометрически не решабельно. Есть и другие формулы четверного угла, под которые замену подобрать тоже нереально.

Всё-таки решабельно.

Пусть есть уравнение $px+x^4=t$.

Его тригонометрическое решение такое:

$Q = ((-(27 p^4 + 128 t^3) + 3 (3 p^4 (27 p^4 + 256 t^3))^{1/2})/2)^{1/3}$

$A = (Q + 4 t (4 t/Q - 1))/(6 p)$

$B = (32 (3 p A + t))^{-1/6}$

$F = 256 B^{12} t (16 A^4 + 2 A p - t)$

$R_2=\cos {((\arccos {(1 + 8 F)} + 2 \pi j)/4)}$, где $j=0,1,2,3$

$R = 4 B^3 (1 - A^2)$

$y = (R_2 - R)/(4 B^4)$

$x=A \pm (1 + B y)^{1/2}$

(Проверка в Вольфраме)

{p, t} = RandomInteger[{-1000, 1000}, 2];
Print["\nEquation: ", p, "*x + x^4 = ", t, "\n"];
Print["Ordinary solution:"];
Print[x /. (p x + x^4 - t // NSolve) // Sort, "\n"];
Print["Trigonometric solution:"];
Q = ((-(27 p^4 + 128 t^3) + 3 (3 p^4 (27 p^4 + 256 t^3))^(1/2))/2)^(1/3);
A = (Q + 4 t (4 t/Q - 1))/(6 p);
B = (32 (3 p A + t))^(-1/6);
F = 256 B^12 t (16 A^4 + 2 A p - t);
R2 = Table[Cos[(ArcCos[1 + 8 F] + 2 \[Pi] j)/4], {j, 0, 3}];
R = 4 B^3 (1 - A^2);
y = (R2 - R)/(4 B^4);
Union[A + (1 + B y)^(1/2), A - (1 + B y)^(1/2)] // N // Sort

Использовалась формула черверного угла $\cos{4\alpha} = 1 - 8\cos^2{\alpha} + 8cos^4{\alpha}$.

Поскольку в замене $x \to A + (1 + B y)^{1/2}$ присутствует квадратный радикал, то сохранилась необходимость перебора знаков перед радикалом для отсечения лишних корней. Дробно-линейная замена дала бы точно четыре корня, но подобрать такую замену под формулу черверного угла у меня не получилось.

[deep blue]

dmd в сообщении #1422208 писал(а):

Поправьте меня если не прав, но по-моему уравнение 4-й степени тригонометрически не решабельно. ... Пусть есть уравнение $px+x^4=t$.

А как привести общее уравнение 4-ой степени к такому виду?

[dmd]

deep blue

(Оффтоп)

Общее уравнение 4-ой степени легко преобразовать к виду $a x + b x^2 + x^4 = f$. А его преобразовать к виду $py+y^4=t$ можно подстановкой $x \to A + (y/(4 b) - b/2 + A^2)^{1/2}$, где $A=\dfrac{3 a + \sqrt{9 a^2 + 2 b^3 + 8 b f}}{4 b}$.
В Вольфраме это выглядит так.