2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Средние арифметическое и квадратическое
Сообщение18.10.2019, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Пусть $x_1\geqslant x_2\geqslant\dotsb\geqslant x_n\geqslant0$, $x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\geqslant1$, $x_1+x_2+\dotsb+x_n\leqslant k$, где $k\in\mathbb{N}$, $k\leqslant n$. Докажите, что $x_1+\dotsb+x_k\geqslant1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Средние арифметическое и квадратическое
Сообщение22.10.2019, 08:03 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
При $k^2\ge n$ условие $x_1+x_2+\dotsb+x_n\leqslant k$ не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Средние арифметическое и квадратическое
Сообщение22.10.2019, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Ну да, задача содержательна только при $n>k^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Средние арифметическое и квадратическое
Сообщение22.10.2019, 21:09 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
$$\sum_{i=1}^nx_i=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\geq\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\geq1,$$
а это не то, что спрашивается. :-(

Rak so dna, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Средние арифметическое и квадратическое
Сообщение22.10.2019, 21:22 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
arqady Вы доказали не то что спрашивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Средние арифметическое и квадратическое
Сообщение24.10.2019, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Изображение
Кухню размером $1 \times 1$ застилаем квадратными остатками линолеума размером $x_1 \times x_1$ и т.д. (общая площадь линолеума достаточна). Начиная с самого крупного куска, идем вдоль стеночки, как на рисунке. Излишек отрезаем, с него начинаем новую стопку. Если предположить, что $x_1 + \dots + x_k < 1$, то сможем соорудить $k$ стопок, не израсходовав все куски. Это означает, что $x_1 + \dots + x_n > k$.
(Это то, что спрашивается? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Средние арифметическое и квадратическое
Сообщение24.10.2019, 11:52 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Это решение, кстати, хорошая иллюстрация к теме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group