Средние арифметическое и квадратическое

[RIP]

Пусть $x_1\geqslant x_2\geqslant\dotsb\geqslant x_n\geqslant0$, $x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\geqslant1$, $x_1+x_2+\dotsb+x_n\leqslant k$, где $k\in\mathbb{N}$, $k\leqslant n$. Докажите, что $x_1+\dotsb+x_k\geqslant1$.

[Null]

При $k^2\ge n$ условие $x_1+x_2+\dotsb+x_n\leqslant k$ не нужно.

[RIP]

Ну да, задача содержательна только при $n>k^2$.

[arqady]

$$\sum_{i=1}^nx_i=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\geq\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\geq1,$$

а это не то, что спрашивается.

Rak so dna, спасибо!

[Rak so dna]

arqady Вы доказали не то что спрашивается.

[TOTAL]

Кухню размером $1 \times 1$ застилаем квадратными остатками линолеума размером $x_1 \times x_1$ и т.д. (общая площадь линолеума достаточна). Начиная с самого крупного куска, идем вдоль стеночки, как на рисунке. Излишек отрезаем, с него начинаем новую стопку. Если предположить, что $x_1 + \dots + x_k < 1$, то сможем соорудить $k$ стопок, не израсходовав все куски. Это означает, что $x_1 + \dots + x_n > k$.
(Это то, что спрашивается? )

[mihiv]

Это решение, кстати, хорошая иллюстрация к теме.