2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел функции
Сообщение21.10.2019, 20:51 


21/10/19
14
Здравствуйте, ищу опытных умов. Необходимо вычислить данный предел: $$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x-a}{n}\sum\limits_{l=0}^{n}\sqrt{x-\frac{(x-a)l}{n}}$$. Ключевое условие - не использовать понятие интегральной суммы (так бы взял и с легкостью посчитал бы). Пробовал выносить за знак корня и суммы - не помогает (вольфрам выдает пустой экран). Если вынести $\frac{1}{n}$ или $x-a$, то у нас ничего не выйдет. Раз такую сумму нельзя посчитать, то получается, что интеграл Римана по определению не берется от данной функции. Если верить интегралу Римана, то ответ равен $\frac{2\sqrt{x^{3}}}{2}-\frac{2\sqrt{a^{3}}}{2}$. Но никакие известные методы преобразования сумм (выносы за знак суммы) не помогают в решении.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.10.2019, 21:23 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- поскольку индекс суммирования нигде больше не используется, от суммы можно избавиться (или более аккуратно записать условие).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.10.2019, 20:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение23.10.2019, 09:34 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ShnurDash
Ну раз нельзя, будем заниматься извращениями. Разложим
$$\sqrt {x - (x - a)\frac{l}{n}}  = \sqrt x \sqrt {1 - (1 - \frac{a}{x})\frac{l}{n}}  = \sqrt x \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{(2k)!}}{{(1 - 2k){{(k!)}^2}{4^k}}}{{(1 - \frac{a}{x})}^k}{{(\frac{l}{n})}^k}} $$
Теперь заметьте, что
$$\sum\limits_{l = 0}^n {{{(\frac{l}{n})}^k}}  = \frac{n}{{k + 1}} + O(1)$$
А раз так, то только эта часть даёт ненулевой вклад в предел, и ваш изначальный предел равен
$$\sqrt x (x - a)\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{(2k)!}}{{(1 - 2k){{(k!)}^2}{4^k}}}{{(1 - \frac{a}{x})}^k}\frac{1}{{k + 1}}} $$
Не составляет труда показать, что сумма равна $\frac{2}{{3(x - a)}}(x - \frac{{{a^{3/2}}}}{{{x^{1/2}}}})$
следственно наш предел есть
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x - a}}{n}\sum\limits_{l = 0}^n {\sqrt {x - (x - a)\frac{l}{n}} }  = \sqrt x (x - a)\frac{2}{{3(x - a)}}(x - \frac{{{a^{3/2}}}}{{{x^{1/2}}}}) = \frac{2}{3}({x^{3/2}} - {a^{3/2}})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение23.10.2019, 20:04 


21/10/19
14
Благодарю за информативный ответ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group