Предел функции

[ShnurDash]

Здравствуйте, ищу опытных умов. Необходимо вычислить данный предел:

$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x-a}{n}\sum\limits_{l=0}^{n}\sqrt{x-\frac{(x-a)l}{n}}$$

. Ключевое условие - не использовать понятие интегральной суммы (так бы взял и с легкостью посчитал бы). Пробовал выносить за знак корня и суммы - не помогает (вольфрам выдает пустой экран). Если вынести $\frac{1}{n}$ или $x-a$, то у нас ничего не выйдет. Раз такую сумму нельзя посчитать, то получается, что интеграл Римана по определению не берется от данной функции. Если верить интегралу Римана, то ответ равен $\frac{2\sqrt{x^{3}}}{2}-\frac{2\sqrt{a^{3}}}{2}$. Но никакие известные методы преобразования сумм (выносы за знак суммы) не помогают в решении.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- поскольку индекс суммирования нигде больше не используется, от суммы можно избавиться (или более аккуратно записать условие).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Ms-dos4]

ShnurDash
Ну раз нельзя, будем заниматься извращениями. Разложим

$$\sqrt {x - (x - a)\frac{l}{n}} = \sqrt x \sqrt {1 - (1 - \frac{a}{x})\frac{l}{n}} = \sqrt x \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{(2k)!}}{{(1 - 2k){{(k!)}^2}{4^k}}}{{(1 - \frac{a}{x})}^k}{{(\frac{l}{n})}^k}} $$

Теперь заметьте, что

$$\sum\limits_{l = 0}^n {{{(\frac{l}{n})}^k}} = \frac{n}{{k + 1}} + O(1)$$

А раз так, то только эта часть даёт ненулевой вклад в предел, и ваш изначальный предел равен

$$\sqrt x (x - a)\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{(2k)!}}{{(1 - 2k){{(k!)}^2}{4^k}}}{{(1 - \frac{a}{x})}^k}\frac{1}{{k + 1}}} $$

Не составляет труда показать, что сумма равна $\frac{2}{{3(x - a)}}(x - \frac{{{a^{3/2}}}}{{{x^{1/2}}}})$
следственно наш предел есть

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x - a}}{n}\sum\limits_{l = 0}^n {\sqrt {x - (x - a)\frac{l}{n}} } = \sqrt x (x - a)\frac{2}{{3(x - a)}}(x - \frac{{{a^{3/2}}}}{{{x^{1/2}}}}) = \frac{2}{3}({x^{3/2}} - {a^{3/2}})$$

[ShnurDash]

Благодарю за информативный ответ.