Кострикин I (учебник), Многочлены, упр 2

[praktik_]

Хочу решить упражнение.

Цитата:

Доказать при помощи теоремы 3, что если $F$ - поле, то группа всех автоморфизмов кольца $F[X]$, тождественных на $F$, изоморфна группе преобразований $X \to aX + b$, где $a,b \in F$ и $a \ne 0$.

Теорема 3

Цитата:

Пусть $A$ и $K$ - произвольные коммутативные кольца, $t$ - элемент из $K$ и $\varphi: A \to K$ - гомоморфизм. Тогда существует, и притом единственное, продолжение $\varphi$ до гомоморфизма $\varphi_t: A[X] \to K$ кольца многочленов $A[X]$ в $K$, переводящего переменную $X$ в $t$.

Для начала нужно понять о каких именно объектах в тексте идет речь.

1) С группой всех автоморфизмов кольца $F[X]$, тождественных на $F$ вроде как все понятно. Это такие автоморфизмы $f$, у которых $f(a) = a$ для всех $a \in F$. (Верно?)
2) А вот что такое группа преобразований $X \to aX + b$, где $a,b \in F$ и $a \ne 0$ пока не ясно.
Группой преобразований называется подгруппа группы всех биективных отображений какого то множества в себя с операцией композиции отображений.
То есть для начала у нас должно быть какое то множество на котором мы будем плодить биективные отображения.
Но что в данном случае является таким множеством?
На сколько я могу понять, $a$ и $b$ тут фиксированы. Ибо если они не фиксированы, то $X \to aX + b$ получается не биективным.
Если $X$ понимать в алгебраическом смысле, то это всего один элемент $(0, 1, 0, 0, ....)$ и в совокупности с фиксированными $a$ и $b$ дает отображение $(0, 1, 0, 0, ....) \to (b, a, 0, 0, ....)$. Тоже ерунда какая то.
Если $X$ понимать в функциональном смысле, то есть как переменную. То в зависимости от кольца $K$ из которого будут браться значения в качестве $X$, может получиться так, что два разных $X$ отобразятся в одно и тоже значение из $K$. И соответственно биективность ломается.

[vpb]

Подумайте над следующей мыслью. Если $\theta\in F[X]$ --- любой элемент из $F[X]$, то, как следует из теоремы 3, существует ровно один гомоморфизм из $F[X]$ в себя, который на $F$ действует тождественно, а $X$ переводит в $\theta$.
... Это понятно ?

[praktik_]

vpb в сообщении #1421708 писал(а):

Подумайте над следующей мыслью. Если $\theta\in F[X]$ --- любой элемент из $F[X]$, то, как следует из теоремы 3, существует ровно один гомоморфизм из $F[X]$ в себя, который на $F$ действует тождественно, а $X$ переводит в $\theta$.

Да, т.к. $F[X]$ является коммутативным кольцом по построению, то можно брать его в качестве кольца $K$ из теоремы 3.
И далее вытекает ваша цепочка рассуждений.

Тут наверное можно продолжить мысль, и понять, что из множества гомоморфизмов $F[X]$ в себя, тождественных на $F$ нам нужно выбрать изоморфизмы (чтобы получить группу автоморфизмов из упражнения). А сделать это можно взяв определенное множество $\beta$ элементов $\theta\in F[X]$.
Далее интуитивно можно выдвинуть гипотезу, что этим множеством $\beta$ является $aX + b$, где $a,b \in F$ и $a \ne 0$ и никакое другое. (I)
В теореме 3 говорится о существовании и единственности такого гомоморфизма (автоморфизма в нашем случае) для каждого $\theta\in F[X]$. Видимо из этого факта и того факта, что F является полем (то есть a и b имеют обратные элементы по умножению) нужно доказать, что множество $\beta$ биективно отображается на множество автоморфизмов определенное выше. (II)
Далее заменив множество $\beta$ на множество отображений $X \to aX + b$, где $a,b \in F$ и $a \ne 0$ показать, что у нас тут не просто биекция а еще и изоморфизм. (III)

Из (I), (II) и (III) будет следовать утверждение упражнения. Верно?

[vpb]

Слишком длинный и сложный план составили, и непонятный к тому же. Не надо рассматривать множество всех возможных отображений для всех $\theta$. Надо более прямолинейно, показать, для одного $\theta$, что если оно $=aX+b$, $a\ne0$, то получается автоморфизм, а иначе нет.

[La Vie]

praktik_
Ну куда можно отправить $x$? Поле у нас неподвижно, значит отправляем в многочлен ненулевой степени. Какой? Например, в линейный - отправляем, проверяем, всё ок. А если не в линейный, то какой прообраз будет у $x$? Раз у нас автоморфизм. Посмотрите на степени образов. Вот тут и всё.

Дальше рассматриваем группу композиций линейных многочленов и очевидным образом устанавливаем изоморфизм из нашей группы автоморфизмов кольца в эту группу.