Найти потенциал

[Timur Iskandarov]

В схеме на рисунке ниже $SRC_1$ источник тока, управляемый напряжением с крутизной $g = 3.1 \ \frac{mA}{V}$. Вход находится слева, положительный вывод сверху, положительное направление тока обозначено стрелкой. Входной ток равен нулю. В начальный момент времени $t_0=0$ конденсаторы разряжены, ток через индуктивность равен нулю. Постоянное напряжение на входе $in$ равно $1 \ V$. Найти напряжение на выходе $out$ в заданный момент времени $t >0$.



Мои соображения.
Узел между конденсатором $C_{2}$ и катушкой $L_{1}$ обозначу как $a$, между конденсаторами $C_{2}$ и $C_{1}$ — $b$, между конденсатором $C_{1}$ и выходом $out$ — $c$.
Потенциал в узле $a$ равен управляющему напряжению и равен $U_a = U_{in} - L_{1}\frac{di_{L}}{dt} = \frac{I}{g}$, в узле $b \ $ $-U_{a}$, в узле $c$ $+U_{a}$.
Тогда потенциал на выходе равен управляющему напряжению $U_{out} = U_{a} = \frac{I}{g}$.
Дальше у меня ступор.
Была идея по первому закону Кирхгофа расписать токи для узла $b$, но ничего адекватного не вышло.
$I_{C_{2}}+I-I_{R_{2}} = I_C_{1}$,
$C_{2}\frac{du_{C_2}}{dt} + g \cdot U_{a} - \frac{-U_{a}}{R_{2}} = C_{1}\frac{du_{C_1}}{dt}$,
$2C_{2}\frac{dU_{a}}{dt} + g \cdot U_{a} + \frac{U_{a}}{R_{2}} = 2C_{1}\frac{dU_{a}}{dt}$,
$2(C_{2} - C_{1}) \frac{dU_{a}}{dt} = - U_{a} (g + \frac{1}{R_{2}})$,
$ \frac{dU_{a}}{U_{a}} = - \frac{1}{2(C_{2} - C_{1})} (g + \frac{1}{R_{2}})dt$.
И если сейчас проинтегрировать это всё дело, то будет ответ ? Для чего тогда вроде бы $L_1$ и $R_1$ ?
$\ln U_a = - \frac{1}{2(C_{2} - C_{1})} (g + \frac{1}{R_{2}})t + C$.

[realeugene]

Timur Iskandarov в сообщении #1421537 писал(а):

Для чего тогда вроде бы $L_1$ и $R_1$

Простейшая проверка. Если $L_1=\infty$, каким будет напряжение на выходе? А если $R_1=0$?
Чтобы найти у себя ошибку, рассмотрите своё решение по шагам, и найдите шаг, который ломается при этих условиях.

[Timur Iskandarov]

realeugene в сообщении #1421541 писал(а):

Если $L_1=\infty$, каким будет напряжение на выходе?

Бесконечно большим.

realeugene в сообщении #1421541 писал(а):

А если $R_1=0$?

Равным нулю.

[Timur Iskandarov]

realeugene, подумал и всё равно не понимаю. В момент времени $t_0 = 0$ потенциалы во всех трех узлах нулевые раз все конденсаторы разряжены. Затем начинается переходный процесс, поле в 1В двигает заряды от 1В к 0В (0В в узле a), тогда $\int dt = L\int di_L $ и как это интегрировать? $t+C = L \cdot i_L$ ?

[realeugene]

Timur Iskandarov в сообщении #1421543 писал(а):

Бесконечно большим.
Равным нулю.

Обоснуйте.

[Timur Iskandarov]

realeugene в сообщении #1421585 писал(а):

Обоснуйте.

Рассуждения следующие.
Падение напряжения на катушке $U_{L} = L_{1}\frac{di_{L}}{dt}$, $U_{in} - U_{a} = L_{1}\frac{di_{L}}{dt}$, а значит потенциал в узле а $U_{a} = U_{in} - L_{1}\frac{di_{L}}{dt}$, $U_{a} = 1 - \infty = -\infty$, следовательно, левая обкладка конденсатора $C_2$ имеет потенциал $-\infty$, в силу того, что $\varphi = \frac{q}{C}$, потенциал правой обкладки $+\infty$, а значит и потенциал узла b $+\infty$, а значит и потенциал левой обкладки конденсатора $C_1$ будет $+\infty$, тогда потенциал правой обкладки $-\infty$, а значит и потенциал узла c $-\infty$, а напряжение на выходе равно значению потенциала в узле с. Тогда и получается, что оно бесконечно большое со знаком минус.
Если резистор, подключенный к узлу с нулевой, то это закоротка и в узле с потенциал земли, а значит и на выходе земля.

[realeugene]

Timur Iskandarov в сообщении #1421592 писал(а):

$U_{a} = 1 - \infty = -\infty$,

Будет в какой-то точке схемы бесконечный потенциал? Seriously? Если начальное условие, что во всех точках схемы нуль?

[Timur Iskandarov]

realeugene, бесконечного потенциала быть не должно, но ведь по формулам смотрю, и если $L = \infty $, то падение напряжения $U_L = \infty \cdot \frac{di_L}{dt}$, если $\frac{di_L}{dt} = 0$, то неопределенность будет $U_L = \infty \cdot 0$, если нет, то бесконечность.

[realeugene]

Timur Iskandarov в сообщении #1421600 писал(а):

но ведь по формулам смотрю

Значит, вы неправильно интерпретируете физический смысл этих формул.

Но у вас и проблемы с матанализом. Что такое в матанализе бесконечность?

[Timur Iskandarov]

realeugene в сообщении #1421601 писал(а):

Что такое в матанализе бесконечность?

Когда предел последовательности, порядковые номера которой стремятся к бесконечности, равен бесконечности. Через модули вроде определение ещё какое-то было.
С матаном вроде проблем не было в универе.

-- 19.10.2019, 16:52 --

Последовательность стремится к бесконечности если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа.

-- 19.10.2019, 17:01 --

Физический смысл, при прохождении тока через катушку накапливается энергия магнитного поля, если ток исчезает, то энергия с катушки уходит в цепь, а также насколько быстро нарастает ток через катушку, настолько быстро с умножением на $L$ падает напряжение на этой катушке.

[realeugene]

Вот и устремите величину индуктивности к бесконечности.

[Timur Iskandarov]

realeugene, вот это правильно?
Напряжение на катушке падает в $L$ раз быстрее, чем изменение тока в ней.

Про изменение тока в катушке ничего не известно, значит от ненулевого $L$ можно сказать ничего не зависит, так?

[realeugene]

Как это ничего? А начальные условия?

[Emergency]

Задача плохо сформулирована.
Насколько я смог понять, требуется рассмотреть переходной процесс и найти реакцию схемы (напряжение на выходе) при скачкообразном увеличении напряжения на входе от 0 до 1 вольта.
Это так? Или задача в другом?

[Timur Iskandarov]

Emergency, мне самому не нравится такая формулировка, ни направления токов не задано, ни потенциалы не подписаны хотя бы формально, по схеме видно, что она нарисована в каком-то сапр и всё. Задача у меня несколько в другом, но начало я переписал один в один. Дальше такой текст.

Написать программу на C/C++, которая вычисляет напряжение на выходе $out$ в заданный момент времени $t > 0$ и с ее помощью найти напряжение на выходе $out$ в момент времени $t_1 = 1.281$ нс. Подсказка для самопроверки и отладки: напряжение на выходе $out$ в момент $t_2 = 1.661$ нс приблизительно равно $-1.274$ В.

Это одно из тестовых заданий на программиста, я глазами пробежался по задачам, смутила только эта, т.к. формулы для потенциала то нет. Соответственно мне важно понять, есть ли она вообще тут, хватает ли данных, либо нужен какой-то другой подход.

-- 19.10.2019, 18:23 --

Emergency в сообщении #1421615 писал(а):

Насколько я смог понять, требуется рассмотреть переходной процесс и найти реакцию схемы (напряжение на выходе) при скачкообразном увеличении напряжения на входе от 0 до 1 вольта.
Это так? Или задача в другом?

Думаю задача именно в этом.

-- 19.10.2019, 18:29 --

realeugene в сообщении #1421613 писал(а):

Как это ничего? А начальные условия?

Согласен, начальные условия есть — в момент $t_0=0$ ток через катушку не проходит, то есть $i_L=0$, а значит и $di_L = \operatorname{0} $ и изменения никакого нет $\frac{di_L}{dt} = \operatorname{0}$. Только дальше то что делать?