Поля остатков: пара вопросов начинающего

[Munin]

Ой, вы закидали значками :-) Где про это прочитать на уровне wikipedia хотя бы?

[Sonic86]

$\overline{\mathbb{F}_p}$ - это алгебраическое замыкание $\mathbb{F}_p$
$\mathbb{F}_p((t))$ - это поле рациональных функций над $\mathbb{F}_p$

[nnosipov]

iou в сообщении #1420900 писал(а):

То есть на каждой такой группе $G$ можно естественно ввести структуру конечномерного векторного пространства над $\mathbb{F}_p.$

Так это же надо ввести. Вот я, собственно, и призываю это сделать.

Munin в сообщении #1420901 писал(а):

и факторизовать их

Лучше сказать: факторизовать по ним (т.е. по идеалу, порожденному неприводимым многочленом).

Munin в сообщении #1420901 писал(а):

Я захотел посмотреть любимые квадратичные многообразия над целыми полями.

Что Вы имеете в виду под целыми полями?

Munin в сообщении #1420901 писал(а):

(1) Получается, там никакой красивой простой теории нет?

Теория квадратичных форм над $\mathbb{Q}$? Это скорее теория чисел, чем алгебра. И там все сложнее по сравнению с классическим случаем (над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$).

Munin в сообщении #1420901 писал(а):

(2) Как называются поля, в которых квадратные корни берутся из любого элемента?

Это я не знаю, пусть кто-нибудь другой ответит.

Munin в сообщении #1420901 писал(а):

Есть ли какие-нибудь простые, лучше всего конечные примеры таких колец?

Конечная область целостности автоматически оказывается полем (простое упражнение). Нефакториальные области целостности: таких примеров много, самые простые --- это примеры типа $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.

Однако, амплитуда скачков мысли у Вас ... немножко, как бы это сказать, великовата

[Munin]

nnosipov в сообщении #1420923 писал(а):

Что Вы имеете в виду под целыми полями?

Тьфу, оговорился. Над конечными полями.

nnosipov в сообщении #1420923 писал(а):

Однако, амплитуда скачков мысли у Вас ... немножко, как бы это сказать, великовата :-)

Программа меня не ограничивает :-) Зато можно заниматься тем, что интересно.

-- 15.10.2019 18:28:16 --

nnosipov в сообщении #1420923 писал(а):

Лучше сказать: факторизовать по ним (т.е. по идеалу, порожденному неприводимым многочленом).

Да, по ним. Факторизовать многочлены вообще.

[iou]

Sonic86 в сообщении #1420921 писал(а):

$\mathbb{F}_p((t))$ - это поле рациональных функций над $\mathbb{F}_p$

Поле рациональных функций это $\mathbb{F}_p (t),$ а $\mathbb{F}_p((t))$ это поле рядов Лорана -- поле частных кольца рядов Тейлора $\mathbb{F}_p[[t]].$

Munin в сообщении #1420918 писал(а):

Где про это прочитать на уровне wikipedia хотя бы?

Не знаю, честно говоря.. Если в трёх словах, то, например, $\overline{\mathbb{F}_p}$ очень простая вещь. Для каждого натурального числа $n$ у него есть ровно одно подполе из $p^n$ элементов (в этом смысле, скажем, есть не просто одно поле из $p^n$ элементов с точностью до изоморфизма, а буквально одно, если вложить в алгебраическое замыкание) и оно является объединением таких конечных подполей. Поле $\mathbb{F}_p ((t))$ уже не является замкнутым (его замыкание это поле рядов Пюизо), но при этом полно относительно $t$-адической нормы. Поле $\mathbb{F}_p [t^\frac{1}{p^\infty}]$ получается последовательным прибавлением корней из $p^n$-ой степени. То есть мы каждый раз делаем Фробениус всё ближе к тому, чтобы он стал сюръективным. Оно уже не является ни полным, ни замкнутым, но при этом оно совершенно (буквально по построению).

[Munin]

nnosipov в сообщении #1420865 писал(а):

4. Да, а умеем ли мы построить поле $\mathbb{F}_8$? Освоить конструирование конечных полей и арифметические действия в них.

Недавно попробовал это сделать с другого конца (хотя это и эквивалентно).
Сначала строим пространство $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n.$ Пока пустые клеточки, отмечаем только начало координат.
Параллельно рядом пишем рядок степеней $[0],1,a,a_2,\ldots,a_{q-2}.$ Эти элементы надо расставить в клеточках. Идея в том, что я не ищу образующий элемент $a$ в аддитивной группе, а наоборот, явно беру мультипликативную группу, и из неё строю отображение в аддитивную.

Первые $n$ степеней $1,a,\ldots,a_{n-1}$ линейно независимы, и я их ставлю в клеточки базисных векторов.
Следующий $a^n$ пытаюсь поставить в первую незанятую клеточку - например, в $(1,1,0,\ldots,0)=1+a.$ По сути, это означает $a^n=a+1,$ то есть $a^n-a-1=0.$ По Wikipedia, это не всегда получается, но у меня пока получалось всегда - видимо, я мало примеров перебрал. Если не получится - придётся искать для него другую клеточку.

(Оффтоп)

$2^2,2^3,2^4,3^2,5,7,11.$ А, точно, для $\mathbb{F}_7$ немного не получилось: $a\shortmid\joinrel\nrightarrow 2,$ но работает $a\mapsto 3.$

Ну и все последующие $a^k$ получаю последовательно, домножая $a^{k-1}$ на $a,$ и пользуясь соотношением для $a^n,$ как только возникают большие степени. Постепенно заполняется всё пространство.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1427440 писал(а):

По сути, это означает $a^n=a+1,$ то есть $a^n-a-1=0.$ По Wikipedia, это не всегда получается, но у меня пока получалось всегда - видимо, я мало примеров перебрал.

Получится тогда и только тогда, когда многочлен $x^n-x-1$ окажется неприводимым над $\mathbb{Z}_p$. А это, действительно, не всегда будет. Наименьший контрпример при $p=2$, $n=5$.

Upd. Хотя я не совсем прав: многочлен $x^n-x-1$ должен быть не просто неприводимым, а примитивным --- ведь его корень $a$ должен порождать мультипликативную группу поля. При $p=2$ и $2 \leqslant n \leqslant 4$ так и будет.

[Munin]

Немножко не дотянулся :-) Ну, доберусь ещё. А чем-нибудь интересным различаются случаи, когда $q-1$ простое или не простое? Кроме того, сколько там из элемента берётся кубических корней...

(К слову сказать, очень приятно было на эту тему почитать книжку
Дынкин, Успенский. Математические беседы.
Рекомендую всем, кто занимается со школьниками. И отдельное восхищение авторами: это тот самый Дынкин и тот самый Успенский!)

[nnosipov]

Munin в сообщении #1427501 писал(а):

А чем-нибудь интересным различаются случаи, когда $q-1$ простое или не простое?

Число $q-1$ простое только если оно простое число Мерсенна $M_n=2^n-1$ (т.е. такое может быть только в характеристике 2). Если $q-1$ простое, то любой неединичный элемент мультипликативной группы будет ее порождать. Но простых чисел Мерсенна известно мало (кажется, всего 50 штук). Тем не менее, есть забавные результаты, связанные с ними. Вот, скажем, такой многочлен

$$ x^{170141183460469231731687303715884105727}+x+1 $$

неприводим над $\mathbb{Z}_2$ (степень --- это как раз $M_{127}$; доказательство опирается на то, что $M_n$ --- простое число при $n \in \{2,3,7,127\}$).

[Munin]

nnosipov в сообщении #1427507 писал(а):

Число $q-1$ простое только если оно простое число Мерсенна $M_n=2^n-1$ (т.е. такое может быть только в характеристике 2).

Ещё единственный случай $q=3.$