Порядок суммирования

[Antonij]

Когда допустимо изменение порядка суммирования при исследовании ряда на сходимость, т.е.
вместо $\sum_{n=1}^\infty a_n\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)$
брать
$\sum_{k=1}^\infty b_k\left(\sum_{n=k}^\infty a_n\right)$?

Думаю нужно требовать сходимость $\sum_{n=k}^\infty a_n$ для всех k. Что-то ещё?

[gris]

просто так: последнее требование означает просто сходимость ряда $a$

[Antonij]

Да, это я уже понял.
Пытаюсь выдумать контрпример, когда изменение порядка суммирования что-то меняет. Тоже не получается.

[gris]

Уточнили бы, какой именно ряд исследуется на сходимость. Я так понял, что из попарных произведений

[Antonij]

Интересует не конкретный ряд, а именно правила изменения порядка суммирования.
$(a_k)$ и $(b_k)$ последовательности рац. чисел, не обязательно положительные.

[gris]

А это не про кратные и повторные ряды?

[Antonij]

Изначально нет.

[gris]

Я подумал, что можно притянуть за уши двойные ряды, положив $c_{ij}=a_ib_j\big|i\leqslant j;c_{ij}=0\big|i> j;$, и посмотреть тамошние теоремы и контрпримеры.
Всё же лучше бы поподробнее было расписать условие задачи. Заглядывающим в тему лень разбираться, хотя привычным к рядам всё может быть очевидно. Тогда надо их подождать.
Даны две последовательности действительных (зачем требование рациональности?) чисел. Образуем два ряда по приведённым формулам и исследуем на сходимость. Мне кажется, что абсолютная сходимость обоих $\sum a; \sum b$ даёт равные суммы, а контрпримеры надо искать в условной сходимости (расходимости) одного ряда.

[alcoholist]

Antonij
хорошим примером поможет Гелбаум, Омстед "Контрпримеры в анализе"

[Someone]

Можно также посмотреть Г. М. Фихтенгольца, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II, пункты 389—395.

-- Ср окт 16, 2019 00:01:05 --

gris в сообщении #1420860 писал(а):

А это не про кратные и повторные ряды?

Antonij в сообщении #1420867 писал(а):

Изначально нет.

Изначально, может быть, и нет (мы же не знаем вашу "изначальную" задачу, а то, что Вы написали, явно намекает на умножение рядов и на повторные ряды.