2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 11:35 
Когда допустимо изменение порядка суммирования при исследовании ряда на сходимость, т.е.
вместо $\sum_{n=1}^\infty a_n\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)$
брать
$\sum_{k=1}^\infty b_k\left(\sum_{n=k}^\infty a_n\right)$?

Думаю нужно требовать сходимость $\sum_{n=k}^\infty a_n$ для всех k. Что-то ещё?

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 13:16 
Аватара пользователя
просто так: последнее требование означает просто сходимость ряда $a$ :?:

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 13:20 
Да, это я уже понял.
Пытаюсь выдумать контрпример, когда изменение порядка суммирования что-то меняет. Тоже не получается.

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 13:22 
Аватара пользователя
Уточнили бы, какой именно ряд исследуется на сходимость. Я так понял, что из попарных произведений :?:

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 13:25 
Интересует не конкретный ряд, а именно правила изменения порядка суммирования.
$(a_k)$ и $(b_k)$ последовательности рац. чисел, не обязательно положительные.

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 13:39 
Аватара пользователя
А это не про кратные и повторные ряды?

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 14:26 
Изначально нет.

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 15:52 
Аватара пользователя
Я подумал, что можно притянуть за уши двойные ряды, положив $c_{ij}=a_ib_j\big|i\leqslant j;c_{ij}=0\big|i> j;$, и посмотреть тамошние теоремы и контрпримеры.
Всё же лучше бы поподробнее было расписать условие задачи. Заглядывающим в тему лень разбираться, хотя привычным к рядам всё может быть очевидно. Тогда надо их подождать.
Даны две последовательности действительных (зачем требование рациональности?) чисел. Образуем два ряда по приведённым формулам и исследуем на сходимость. Мне кажется, что абсолютная сходимость обоих $\sum a; \sum b$ даёт равные суммы, а контрпримеры надо искать в условной сходимости (расходимости) одного ряда.

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 17:23 
Аватара пользователя
Antonij
хорошим примером поможет Гелбаум, Омстед "Контрпримеры в анализе"

 
 
 
 Re: Порядок суммирования
Сообщение15.10.2019, 23:49 
Аватара пользователя
Можно также посмотреть Г. М. Фихтенгольца, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II, пункты 389—395.

-- Ср окт 16, 2019 00:01:05 --

gris в сообщении #1420860 писал(а):
А это не про кратные и повторные ряды?
Antonij в сообщении #1420867 писал(а):
Изначально нет.
Изначально, может быть, и нет (мы же не знаем вашу "изначальную" задачу, а то, что Вы написали, явно намекает на умножение рядов и на повторные ряды.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group