Теорема Паскаля: сколько всего прямых?

[wrest]

Возможно, название неудачное.

Итак, берём 6 произвольных точек на эллипсе (назовём их первичными).

Далее, соединяем каждую точку с каждой, получаем 15 прямых.

Теперь отмечаем все точки пересечения получившихся 15 прямых, кроме первичных (назовем эти точки вторичными). Получаем 45 (?) вторичных точек.

Вопрос 1: сколько можно провести прямых, содержащих три вторичных точки, но не содержащих первичных точек (назовем такие прямые вторичными) (45)?
Вопрос 2: сколько точек, из числа вторичных, через которые проходит
a) только одна вторичная прямая (1)
б) только две вторичных прямых (9)
в) только три вторичных прямых (27)
г) только четыре вторичных прямых (7)
д) только пять вторичных прямых (1)
е) только шесть вторичных прямых (0)
Вопрос 3: существуют ли вторичные прямые, содержащие 4 или более вторичных точек (0)?
Вопрос 4: если взять 6 точек на другой конике а не на эллипсе, изменятся ли ответы?

Попытка решения предпринята графическая, выше в скобках ответы, но я уверен что провёл не все прямые.
Общий план (но видны не все 45 точек):

Эллипс крупнее:

[eugensk]

Почему вторичных точек только 45, а не $15\cdot7 - 6= 99$?

[wrest]

eugensk в сообщении #1420873 писал(а):

Почему вторичных точек только 45, а не $15\cdot7 - 6= 99$?

По построению. Вряд ли я пропустил столько, проводя построения.

[eugensk]

Получается, что хоть 15 прямых в общем положении дают 105 точек пересечения, если они соединяют 6 точек на эллипсе, то собираются в пучки? Может быть.

ps А всё, туплю, точки на эллипсе конечно же кратные, и $105 - 6 \cdot (5 \cdot 2)$ как раз даёт 45.

[wrest]

eugensk в сообщении #1420876 писал(а):

Получается, что хоть 15 прямых в общем положении дают 105 точек пересечения, если они соединяют 6 точек на эллипсе, то собираются в пучки? Может быть.

Ну ессно, прямые не в общем положении, и конечно они собраны в пучки (первичные точки, на эллипсе).

[eugensk]

Интересно было бы удостоверить эти гипотезы случайными размещениями точек. Если не найдётся решения, попробую на выходных это сделать (надо будет как-то побороть погрешность или считать точно в рациональных точках).

[vpb]

wrest в сообщении #1420871 писал(а):

Далее, соединяем каждую точку с каждой, получаем 15 прямых.

Да.

wrest в сообщении #1420871 писал(а):

Получаем 45 (?) вторичных точек.

Да.

wrest в сообщении #1420871 писал(а):

опрос 1: сколько можно провести прямых, содержащих три вторичных точки, но не содержащих первичных точек (назовем такие прямые вторичными) (45)?
Вопрос 2: сколько точек, из числа вторичных, через которые проходит
a) только одна вторичная прямая (1)
б) только две вторичных прямых (9)
в) только три вторичных прямых (27)
г) только четыре вторичных прямых (7)
д) только пять вторичных прямых (1)
е) только шесть вторичных прямых (0)

Мнится, что вторичных прямых 60, на каждой --- по три вторичных точки. И через каждую вторичную точку проходит 4 вторичных прямых. И какую мы конику в общем положении берем (эллипс или параболу), всё равно. И можем также брать и окружность и параболу, но тогда в число прямых надо включить и бесконечно удаленную прямую.

-- 15.10.2019, 15:09 --

Поясним, что если мы выберем любой циклический порядок на первичных точках, то тем самым определена и вторичная прямая. Циклических же порядков на 6 точках есть 60 (всего порядков 720, а класс эквивалентности порядка относительно циклических сдвигов и переворотов содержит 12 порядков).

[wrest]

vpb в сообщении #1420888 писал(а):

И через каждую вторичную точку проходит 4 вторичных прямых.

По построению, у меня есть по крайней мере одна вторичная точка, через которую проходит 5 вторичных прямых На второй картинке где эллипс она одна такого цвета, малиновая?).

[vpb]

Это не по построению, а по картинке, неточно нарисованной. На самом деле я не знаю наверняка, что таких точек не существует (не доказал, и не думал над этим). Вообще говоря, любопытная задача, если решать ее строго.

[wrest]

vpb в сообщении #1420896 писал(а):

Это не по построению, а по картинке, неточно нарисованной.

Не, там то что построено, всё чотко. Я же могу двигать первичные точки и видеть как все меняется.
Вот ссылка: https://www.geogebra.org/geometry/b3p5c6xh
Первичные точки могут двигаться по эллипсу, первичная точка с квадратиком на эллипсе регулирует эксцентриситет.
Первичные прямые и фокусы эллипса скрыты, чтобы не мешали.

По-вашему расчету, выходит что я недостроил 15 прямых (т.к. построил только 45 а не 60), так что скорее всего, если это так, то вторичных точек, в которых пересекаются 5 вторичных прямых, должно получиться больше одной.

[vpb]

Я точно ничего и не утверждал. С другой стороны, если у Вас есть в наличии какая-то система компьютерной алгебры и запас времени, то можно поставить точный численный эксперимент. Берете окружность (обычную), на ней строите 6 случайных рациональных точек (напомню, что окружность $x^2+y^2=1$ имеет рациональную параметризацию $x=2t/(t^2+1)$, $y=(t^2-1)/(t^2+1)$), и потом находите всё, что надо, в явном виде точно.

-- 15.10.2019, 18:44 --

Более того, можно вообще взять на окружности 6 точек, определяемых числами $t_1\,\ldots,t_6$, и потом найти координаты всех точек и прямых второго порядка как рациональные функции от $t_i$. (точнее, $t_i$ --- не числа, а переменные).

[wrest]

vpb в сообщении #1420953 писал(а):

Берете окружность (обычную), на ней строите 6 случайных рациональных точек (напомню, что окружность $x^2+y^2=1$ имеет рациональную параметризацию $x=2t/(t^2+1)$, $y=(t^2-1)/(t^2+1)$), и потом находите всё, что надо, в явном виде точно.

О, это интересно, надо подумать. А чтобы не было никаких неожиданностей, надо просто проверить что никакие две первичные прямые не параллельны? Или ещё что-то проверить?

[vpb]

Немного подумал. То, что через каждую вторичную точку проходит по крайней мере 4 вторичных прямых --- это-то точно (собственно, из теоремы Паскаля тотчас следует...).

[wrest]

vpb в сообщении #1420953 писал(а):

Более того, можно вообще взять на окружности 6 точек, определяемых числами $t_1\,\ldots,t_6$, и потом найти координаты всех точек и прямых второго порядка как рациональные функции от $t_i$. (точнее, $t_i$ --- не числа, а переменные).

Это какая-то могучая матричная магия должна применяться, иначе толку не будет.

[vpb]

wrest в сообщении #1420958 писал(а):

А чтобы не было никаких неожиданностей, надо просто проверить что никакие две первичные прямые не параллельны?

Чтоб никакая вторичная точка не попала на бесконечность --- да, а какие еще могут быть неожиданности (т.е. вырожденные случаи), прям тут не скажу.