Точные границы последовательности

[Sentido]

Дана формула общего члена последовательности:
$x_{n}= (-1)^{n^{2}}(1+a/n)$

Необходимо найти точные границы последовательности при всех действительных $a$. Точные границы-это супремум и инфимум множества значений последовательности. Верно ли, что нужно рассмотреть случаи, когда $a$ неотрицательный и отрицательный, отдельно? Просто у меня ощущение, что я чего-то не понял.

[eugensk]

Sentido

Да, конечно нужно. Случай с нулём тоже лучше рассмотреть отдельно.

[ewert]

Ещё очень не помешает сообразить, что фактически из себя представляет $(-1)^{n^2}$.

Да, и ещё -- случай больших отрицательных $a$ тоже отделен.

[Sentido]

Исходная последовательность распадается на две подпоследовательности:
I) $n=2k, k \in N$
$x_{n1}= 1+a/n$

II) $n=2k+1, k \in N \cup \left\lbrace0\right\rbrace$
$x_{n2}= -1-a/n$

1) $a>0$
I) Последовательность $x_{n1}$ убывает и стремится к $1$ справа. Первый член данной последовательности будет супремумом исходной последовательности.
II) Последовательность $x_{n2}$ возрастает и стремится к $-1$ слева. Первый член данной последовательности будет инфимумом исходной последовательности.
$supx_{n}=1+a/n$
$infx_{n}=-1-a/n$

2) $a=0$
$supx_{n}=1$
$infx_{n}=-1$

3.1) $-4/3<a<0$
I) Последовательность принимает вид $x_{n1}=1-a/n,4/3>a>0$. Первый член данной последовательности будет супремумом. Потому что первый элемент второй подпоследовательности больше только, когда $a/n>4/3$
II) Последовательность принимает вид $x_{n2}=-1+a/n, 4/3>a>0$. Первый член данной последовательности будет инфимумом исходной.
$supx_{n}=1+a/n, -4/3<a<0 $
$infx_{n}=-1-a/n, -4/3<a<0$

3.2) $a<-4/3$ наоборот
I) Первый член будет инфимумом.
II) Первый член будет супремумом.
$supx_{n}=-1-a/n$
$infx_{n}=1+a/n$
Проверьте кто-нибудь, пожалуйста.

[eugensk]

Упс, начните с определений того что вы ищете.
Супремум множества значений последовательности не меньше любого её члена, как же супремум может зависеть от номера? И тут же сказано, что это первый член, то есть одна строчка противоречит другой. Пока проверять нечего.

[Sentido]

Ой, правда ерунду написал.

1) $a>0$
$\sup x_{n}=1+a/2$
$\inf x_{n}=-1-a$


2) $a=0$
$\sup x_{n}=1$
$\inf x_{n}=-1$


3) $-2 \leq a<0$
$\sup x_{n}=1$
$\inf x_{n}=-1$


4) $-4 \leq a<-2$
$\sup x_{n}=-1-a$
$\inf x_{n}=-1$


5) $a<-4$
$\sup x_{n}=-1-a$
$\inf x_{n}=1+a/2$