2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точные границы последовательности
Сообщение14.10.2019, 15:58 


27/09/18
9
Дана формула общего члена последовательности:
$x_{n}= (-1)^{n^{2}}(1+a/n)$

Необходимо найти точные границы последовательности при всех действительных $a$. Точные границы-это супремум и инфимум множества значений последовательности. Верно ли, что нужно рассмотреть случаи, когда $a$ неотрицательный и отрицательный, отдельно? Просто у меня ощущение, что я чего-то не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные границы последовательности
Сообщение14.10.2019, 16:20 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Sentido

Да, конечно нужно. Случай с нулём тоже лучше рассмотреть отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные границы последовательности
Сообщение14.10.2019, 17:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ещё очень не помешает сообразить, что фактически из себя представляет $(-1)^{n^2}$.

Да, и ещё -- случай больших отрицательных $a$ тоже отделен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные границы последовательности
Сообщение14.10.2019, 19:02 


27/09/18
9
Исходная последовательность распадается на две подпоследовательности:
I) $n=2k, k \in N$
$x_{n1}= 1+a/n$

II) $n=2k+1, k \in N \cup \left\lbrace0\right\rbrace$
$x_{n2}= -1-a/n$

1) $a>0$
I) Последовательность $x_{n1}$ убывает и стремится к $1$ справа. Первый член данной последовательности будет супремумом исходной последовательности.
II) Последовательность $x_{n2}$ возрастает и стремится к $-1$ слева. Первый член данной последовательности будет инфимумом исходной последовательности.
$supx_{n}=1+a/n$
$infx_{n}=-1-a/n$

2) $a=0$
$supx_{n}=1$
$infx_{n}=-1$

3.1) $-4/3<a<0$
I) Последовательность принимает вид $x_{n1}=1-a/n,4/3>a>0$. Первый член данной последовательности будет супремумом. Потому что первый элемент второй подпоследовательности больше только, когда $a/n>4/3$
II) Последовательность принимает вид $x_{n2}=-1+a/n, 4/3>a>0$. Первый член данной последовательности будет инфимумом исходной.
$supx_{n}=1+a/n, -4/3<a<0 $
$infx_{n}=-1-a/n, -4/3<a<0$

3.2) $a<-4/3$ наоборот
I) Первый член будет инфимумом.
II) Первый член будет супремумом.
$supx_{n}=-1-a/n$
$infx_{n}=1+a/n$
Проверьте кто-нибудь, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные границы последовательности
Сообщение14.10.2019, 19:59 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Упс, начните с определений того что вы ищете.
Супремум множества значений последовательности не меньше любого её члена, как же супремум может зависеть от номера? И тут же сказано, что это первый член, то есть одна строчка противоречит другой. Пока проверять нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные границы последовательности
Сообщение15.10.2019, 18:59 


27/09/18
9
Ой, правда ерунду написал.

1) $a>0$
$\sup x_{n}=1+a/2$
$\inf x_{n}=-1-a$


2) $a=0$
$\sup x_{n}=1$
$\inf x_{n}=-1$


3) $-2 \leq a<0$
$\sup x_{n}=1$
$\inf x_{n}=-1$


4) $-4 \leq a<-2$
$\sup x_{n}=-1-a$
$\inf x_{n}=-1$


5) $a<-4$
$\sup x_{n}=-1-a$
$\inf x_{n}=1+a/2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group