Поля остатков: пара вопросов начинающего

[Munin]

С понятием индекса не знаком ещё. В Кострикине оно есть?

[iou]

Munin в сообщении #1420441 писал(а):

С понятием индекса не знаком ещё. В Кострикине оно есть?

Вероятно, да. Подгруппа $H$ группы $G$ называется подгруппой индекса $n$, если количество классов смежности $[G:H]$ равняется $n$ или, что эквивалентно, $n \cdot |H| = |G|.$ В том рассуждении это было нужно, чтоб заключить, что фактор это в точности циклическая группа порядка $2$.

[Munin]

iou в сообщении #1420442 писал(а):

или, что эквивалентно, $n \cdot |H| = |G|.$

Ну, я так понимаю, это только для конечных.

[nnosipov]

Munin
Поскольку Вы уже более-менее хорошо привыкли к тому факту, что мультипликативная группа конечного поля является циклической, позвольте подкинуть Вам пару вопросов на эту тему.

1) Чему равна сумма всех элементов поля $\mathbb{F}_q$? 2) Чему равно произведение всех элементов мультипликативной группы $\mathbb{F}_q^*$?

[Munin]

nnosipov в сообщении #1420454 писал(а):

1) Чему равна сумма всех элементов поля $\mathbb{F}_q$?

В характеристике $\ne 2,$ каждый элемент складывается с противоположным, и получается 0. В $\mathbb{F}_2$ сумма 1.
В $\mathbb{F}_{2^n}$ не знаю. По крайней мере, в $\mathbb{F}_{2^2}$ сумма снова 0.

nnosipov в сообщении #1420454 писал(а):

2) Чему равно произведение всех элементов мультипликативной группы $\mathbb{F}_q^*$?

Возьмём характеристику $\ne 2.$ Тогда каждый элемент умножается с обратным, и получается 1. Кроме одного элемента, обратного самому себе и не равного единице. Этот элемент "посередине" циклической группы, так что его квадрат равен 1. Значит, это единственный неединичный квадратный корень из 1, то есть попросту $-1.$

В характеристике $=2$ мультипликативная группа состоит из нечётного числа элементов, и "каждый с обратным" даёт ровно 1 в окончательном ответе. Но заодно $1=-1$ :-)

Так что, в любом случае ответ $-1.$

-- 14.10.2019 02:53:35 --

Munin в сообщении #1420608 писал(а):

В $\mathbb{F}_{2^n}$ не знаю.

Возникает соблазн отобразить в $\mathbb{F}_{2^n}$ некоторые комплексные числа, чтобы потом сложить корни $(2^n-1)$-й степени из единицы, и получить 0. Но доказывать всю корректность выглядит большой вознёй. Наверное, простой путь к решению другой.

[nnosipov]

Munin
Прокомментирую подробно только вечером, сейчас никак не могу. Но в целом все неплохо.

Munin в сообщении #1420608 писал(а):

Наверное, простой путь к решению другой.

Нет, ровно такой же. Только никакие комплексные числа здесь не нужны. (Потому что гладиолус у Вас есть генератор --- группа-то циклическая.)

[Munin]

Генератор-то есть, но как он связан с аддитивной группой поля?.. Не могу сообразить.

-- 14.10.2019 03:38:38 --

О! Надо использовать школьную формулу суммы геометрической прогрессии! :-)

[nnosipov]

Munin в сообщении #1420612 писал(а):

О! Надо использовать школьную формулу суммы геометрической прогрессии!

Да, именно так

Еще один взгляд на поле $\mathbb{F}_q$ --- как на векторное пространство над $\mathbb{F}_p$ (где $p$ --- характеристика поля $\mathbb{F}_q$) --- дает другой (более естественный) способ решения вопроса о сумме.

Контрольный вопрос: аддитивная группа поля $\mathbb{F}_q$ является циклической?

[Munin]

nnosipov в сообщении #1420655 писал(а):

Да, именно так :-)

Ну тогда всё просто: $g$ - порождающий элемент мультипликативной группы, сумма равна $\tfrac{g^{q-1}-1}{g-1}=\tfrac{1-1}{g-1}=\tfrac{0}{g-1}=0.$

Не работает только в $\mathbb{F}_2,$ но не очень понимаю, почему. Разве что $g=1,$ и нельзя делить на ноль.

nnosipov в сообщении #1420655 писал(а):

Еще один взгляд на поле $\mathbb{F}_q$ --- как на векторное пространство над $\mathbb{F}_p$ (где $p$ --- характеристика поля $\mathbb{F}_q$) --- дает другой (более естественный) способ решения вопроса о сумме.

Я так пробовал, и не получилось.

(Кстати, я пользуюсь буквами $p,q$ как стандартными: $p\in\mathbb{P},q=p^n,\operatorname{char}\mathbb{F}_q=p.$ Их что, надо каждый раз оговаривать?)

nnosipov в сообщении #1420655 писал(а):

Контрольный вопрос: аддитивная группа поля $\mathbb{F}_q$ является циклической?

Ни в коем случае! (То есть, только в случае $q=p.$) Для $q=p^n$ аддитивная группа равна $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n.$

-- 14.10.2019 16:06:08 --

Хорошие вопросики, как раз моего уровня сложности! Я готов порешать ещё.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1420693 писал(а):

Для $q=p^n$ аддитивная группа равна $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n.$

Ну тогда и сложить должно быть нетрудно покомпонентно.

[Munin]

Ну, пожалуй.

Но получается, этот способ хуже: он требует отдельно разбираться со всей характеристикой 2. А формула с суммой геометрической прогрессии - только отдельно с $\mathbb{F}_2.$

[nnosipov]

Munin в сообщении #1420693 писал(а):

Разве что $g=1,$ и нельзя делить на ноль.

Именно поэтому. В целом, моя мысль была проста: циклическая структура $\mathbb{F}_q^*$ дает дополнительные возможности при вычислениях в конечных полях.

Что можно было бы делать дальше?

1. Привыкнуть к тому, что $\mathbb{F}_q$ есть векторное пространство над $\mathbb{F}_p$ (это чуть побогаче, чем просто изоморфизм аддитивной группы поля $\mathbb{F}_q$ и прямой суммы нужного количества экземпляров $\mathbb{F}_p$). Бонусы: линейные зависимости/независимости, базисы, ранги, подпространства, линейные операторы и т.п. бесплатно.

2. Подсчет всего, что можно подсчитать (в принципе, в $\mathbb{F}_q$ все конечно). Например: чему равно количество подпространств данной размерности (кажется, этим летом Вы начинали это занятие, но до конца не довели). Это элементарная комбинаторика.

3. Некоторые подпространства оказываются подполями (т.е. замкнуты не только относительно сложения, но и умножения тоже). Разобраться с этим. Почувствовать, например, что $\mathbb{F}_8$ не содержит внутри себя $\mathbb{F}_4$ (только $\mathbb{F}_2$).

4. Да, а умеем ли мы построить поле $\mathbb{F}_8$? Освоить конструирование конечных полей и арифметические действия в них.

5. Начать потихоньку грызть Лидла и Нидеррейтера. Там прорва упражнений на любой вкус и цвет. Одна из ближайших (а может, и не очень) морковок: нелинейная (в общем случае) задача факторизации многочленов становится линейной над конечным полем. (Prerequisites: нужно актуализировать теорию многочленов; в частности, свыкнутся с мыслью, что многочлен это не функция.)

[iou]

nnosipov в сообщении #1420865 писал(а):

1. Привыкнуть к тому, что $\mathbb{F}_q$ есть векторное пространство над $\mathbb{F}_p$ (это чуть побогаче, чем просто изоморфизм аддитивной группы поля $\mathbb{F}_q$ и прямой суммы нужного количества экземпляров $\mathbb{F}_p$).

Не богаче. Рассмотрим категорию $\text{FinGrp}_p$ конечных абелевых групп, где каждый ненулевой элемент имеет порядок $p$. Тогда имеется эквивалентность $\text{FinGrp}_p \cong \text{FinVect}_\mathbb{F}_p,$ где справа стоит категория конечномерных векторных пространств над $\mathbb{F}_p$. То есть на каждой такой группе $G$ можно естественно ввести структуру конечномерного векторного пространства над $\mathbb{F}_p.$
("конечность" здесь не по делу, но пусть будет, раз у нас про конечные поля)

[Munin]

nnosipov в сообщении #1420865 писал(а):

4. Да, а умеем ли мы построить поле $\mathbb{F}_8$? Освоить конструирование конечных полей и арифметические действия в них.

Это по смутным воспоминаниям + wikiпедии я как-то разобрался. Задача состоит в том, чтобы искать неприводимые многочлены и факторизовать их. Даже вычитал, что в криптографии это "поставлено на поток", и многочлены там перебирают упрощённого вида.

nnosipov в сообщении #1420865 писал(а):

Одна из ближайших (а может, и не очень) морковок: нелинейная (в общем случае) задача факторизации многочленов становится линейной над конечным полем.

Ого. А я-то всё по старинке.

Сейчас у меня мысль скакнула в другую сторону. Я захотел посмотреть любимые квадратичные многообразия над целыми полями. И первым делом воткнулся в то, что даже окружности над $\mathbb{Q}$ не подобны одна другой, если брать разные (не подобные) радиусы. (А задаём-то мы квадрат радиуса.) (1) Получается, там никакой красивой простой теории нет? (2) Как называются поля, в которых квадратные корни берутся из любого элемента?

Плюс другой скачок мысли. Захотелось посмотреть примеры колец, являющихся областями целостности (integral domain, нет делителей нуля), но не факториальных (UFD, разложение на неприводимые единственно). Чтобы усвоить разницу между неприводимостью и простотой. Но как я понял, среди $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ таких нет: или это поле, или сразу есть делители нуля. Есть ли какие-нибудь простые, лучше всего конечные примеры таких колец?

-- 15.10.2019 17:07:14 --

iou
А что, бывают и бесконечномерные? ;-) $\mathbb{F}_{p^\infty}$

[iou]

Munin в сообщении #1420901 писал(а):

А что, бывают и бесконечномерные? ;-) $\mathbb{F}_{p^\infty}$

Ух, их слишком много..: $\overline{\mathbb{F}_p}, {\mathbb{F}_p}((t)), \mathbb{F}_p [t^{\frac{1}{p^\infty}}], \mathbb{F}_p [t^{\frac{1}{p^\infty}}]((z))...$