Доказать, что число иррационально.

[vpb]

EUgeneUS в сообщении #1420229 писал(а):

через основную теорему арифметики?

Да, именно так.

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1420229 писал(а):

Можно ли доказывать так же, как доказывается иррациональность $\sqrt{2}$ через основную теорему арифметики?

Да, естественно. Тоже короткое доказательство.

Вообще, самой древней из известных мне публикаций на эту тему является статья A. S. Besiсovitch. On the linear independence of fractional powers of integers 1940-го года. Основной результат этой статьи вполне можно передоказать в свое удовольствие, что я когда-то и проделал.

[EUgeneUS]

nnosipov
vpb
Спасибо!

[novichok2018]

nnosipov - извините за глупость, почему если рациональное, то целое?
И для иррациональности $\sqrt{2}$ так просто тоже можно?

[Pphantom]

novichok2018 в сообщении #1420439 писал(а):

извините за глупость, почему если рациональное, то целое?

Например, следствием теоремы Безу является утверждение, что все рациональные корни приведенных многочленов с целыми коэффициентами являются целыми. Поскольку $\sqrt[3]{14}$ - корень многочлена $x^3 - 14$, то... И, да, с $\sqrt{2}$ так тоже можно.

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1420445 писал(а):

теоремы Безу

Утверждение о виде рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами (числитель --- делитель свободного, а знаменатель --- делитель старшего коэффициента) называется теоремой Безу? Никогда не знал. Можно какую-нибудь ссылку? Для меня теорема Безу --- это утверждение о том, $f(x)$ делится на $x-a$ тогда и только тогда, когда $f(a)=0$. Конечно, у Безу могло быть много теорем.

Заглянул в книжку Винберга "Алгебра многочленов" (М., Просвещение, 1980), там это просто теорема (см. теорему 1 на стр. 137).

[ewert]

novichok2018 в сообщении #1420439 писал(а):

почему если рациональное, то целое?
И для иррациональности $\sqrt{2}$ так просто тоже можно?

Потому что рациональное число единственным образом представляется в виде несократимой дроби. И если дробь несократима, то и её квадрат -- тоже. И при этом целость числа равносильна единичности знаменателя.

И для корня из двух так, конечно, тоже можно. А вот проще ли это будет -- ещё вопрос. Поскольку пляски вокруг сократимостей не так уж и тривиальны.

-- Вс окт 13, 2019 10:06:01 --

nnosipov в сообщении #1420450 писал(а):

Утверждение о виде рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами (числитель --- делитель свободного, а знаменатель --- делитель старшего коэффициента) называется теоремой Безу? Никогда не знал.

Там немного не так было. Если есть именно рациональный (т.е. нецелый) корень, то из теоремы Безу и впрямь следует, что старший коэффициент не может быть единичным. Правда, следует не сразу; и зачем именно в этом месте именно Безу -- я тоже не понял.

[nnosipov]

ewert в сообщении #1420453 писал(а):

Поскольку пляски вокруг сократимостей не так уж и тривиальны.

Это верно. Тут все зависит от построения курса: либо сначала эти пляски (то есть, свойства взаимно простых чисел), а затем разложение на простые (основная теорема арифметики), либо наоборот. Лично у меня (и не только у меня) основная теорема арифметики подается на десерт, а начинаем мы с алгоритма Евклида, из коего извлекаются все стандартные факты про взаимно простые числа.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1420455 писал(а):

Тут все зависит от построения курса

Меня это, слава аллаху, не касается -- я читал/читаю систематически (не считая разных специальных или иногда) только два курса: алгебры/геометрии и матанализа. Ни там, ни там целочисленная арифметика совершенно не актуальна.

Вот иррациональность $\sqrt2$ -- для анализа принципиальна (но не для линейной алгебры). И в этом случае все идут по линии наименьшего сопротивления -- неявно апеллируя к основной теореме арифметики, т.е. упоминая о количествах двоек в разложениях. Но ни в коем случае не явно: даже произнести само название этой теоремы -- откровенный моветон!

[Pphantom]

nnosipov в сообщении #1420450 писал(а):

Утверждение о виде рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами (числитель --- делитель свободного, а знаменатель --- делитель старшего коэффициента) называется теоремой Безу? Никогда не знал. Можно какую-нибудь ссылку? Для меня теорема Безу --- это утверждение о том, $f(x)$ делится на $x-a$ тогда и только тогда, когда $f(a)=0$.

Нет, речь же шла не о самой теореме Безу, а о ее следствии (которое, насколько мне известно, именной теоремой не является).

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1420464 писал(а):

Нет, речь же шла не о самой теореме Безу, а о ее следствии

А что за следствие? Вот мы хотим доказать утверждение: любой рациональный корень нормированного многочлена с целыми коэффициентами должен быть целым числом. Я не понимаю, как нам тут может помочь теорема Безу или какое-то ее следствие. Можете пояснить? Вопрос, конечно, пустяковый, просто любопытно.

[Pphantom]

Ну что ж, попробую восстановить (факт-то я помню, а доказательство за давностию лет забыл)... Нет, не получается. По-видимому, это все-таки ошибка. Т.е. доказательство-то я придумал, но теорему Безу действительно в него осмысленным образом не втиснуть, вы правы.

[nnosipov]

Pphantom
ОК, спасибо.

[novichok2018]

Получается, что так можно доказать иррациональность корня любой степени из натурального числа, если тот не извлекается. Границы для последней оценки можно взять из десятичного приближения. Не знал этого приёма, спасибо за науку.