2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение11.10.2019, 08:58 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
EUgeneUS в сообщении #1420229 писал(а):
через основную теорему арифметики?

Да, именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение11.10.2019, 14:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EUgeneUS в сообщении #1420229 писал(а):
Можно ли доказывать так же, как доказывается иррациональность $\sqrt{2}$ через основную теорему арифметики?
Да, естественно. Тоже короткое доказательство.

Вообще, самой древней из известных мне публикаций на эту тему является статья A. S. Besiсovitch. On the linear independence of fractional powers of integers 1940-го года. Основной результат этой статьи вполне можно передоказать в свое удовольствие, что я когда-то и проделал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение11.10.2019, 15:22 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
nnosipov
vpb
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 02:01 
Заблокирован


16/04/18

1129
nnosipov - извините за глупость, почему если рациональное, то целое?
И для иррациональности $\sqrt{2}$ так просто тоже можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 03:56 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
novichok2018 в сообщении #1420439 писал(а):
извините за глупость, почему если рациональное, то целое?
Например, следствием теоремы Безу является утверждение, что все рациональные корни приведенных многочленов с целыми коэффициентами являются целыми. Поскольку $\sqrt[3]{14}$ - корень многочлена $x^3 - 14$, то... И, да, с $\sqrt{2}$ так тоже можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 07:49 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Pphantom в сообщении #1420445 писал(а):
теоремы Безу
Утверждение о виде рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами (числитель --- делитель свободного, а знаменатель --- делитель старшего коэффициента) называется теоремой Безу? Никогда не знал. Можно какую-нибудь ссылку? Для меня теорема Безу --- это утверждение о том, $f(x)$ делится на $x-a$ тогда и только тогда, когда $f(a)=0$. Конечно, у Безу могло быть много теорем.

Заглянул в книжку Винберга "Алгебра многочленов" (М., Просвещение, 1980), там это просто теорема (см. теорему 1 на стр. 137).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 08:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
novichok2018 в сообщении #1420439 писал(а):
почему если рациональное, то целое?
И для иррациональности $\sqrt{2}$ так просто тоже можно?

Потому что рациональное число единственным образом представляется в виде несократимой дроби. И если дробь несократима, то и её квадрат -- тоже. И при этом целость числа равносильна единичности знаменателя.

И для корня из двух так, конечно, тоже можно. А вот проще ли это будет -- ещё вопрос. Поскольку пляски вокруг сократимостей не так уж и тривиальны.

-- Вс окт 13, 2019 10:06:01 --

nnosipov в сообщении #1420450 писал(а):
Утверждение о виде рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами (числитель --- делитель свободного, а знаменатель --- делитель старшего коэффициента) называется теоремой Безу? Никогда не знал.

Там немного не так было. Если есть именно рациональный (т.е. нецелый) корень, то из теоремы Безу и впрямь следует, что старший коэффициент не может быть единичным. Правда, следует не сразу; и зачем именно в этом месте именно Безу -- я тоже не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 09:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #1420453 писал(а):
Поскольку пляски вокруг сократимостей не так уж и тривиальны.
Это верно. Тут все зависит от построения курса: либо сначала эти пляски (то есть, свойства взаимно простых чисел), а затем разложение на простые (основная теорема арифметики), либо наоборот. Лично у меня (и не только у меня) основная теорема арифметики подается на десерт, а начинаем мы с алгоритма Евклида, из коего извлекаются все стандартные факты про взаимно простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 10:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1420455 писал(а):
Тут все зависит от построения курса

Меня это, слава аллаху, не касается -- я читал/читаю систематически (не считая разных специальных или иногда) только два курса: алгебры/геометрии и матанализа. Ни там, ни там целочисленная арифметика совершенно не актуальна.

Вот иррациональность $\sqrt2$ -- для анализа принципиальна (но не для линейной алгебры). И в этом случае все идут по линии наименьшего сопротивления -- неявно апеллируя к основной теореме арифметики, т.е. упоминая о количествах двоек в разложениях. Но ни в коем случае не явно: даже произнести само название этой теоремы -- откровенный моветон!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 12:25 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
nnosipov в сообщении #1420450 писал(а):
Утверждение о виде рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами (числитель --- делитель свободного, а знаменатель --- делитель старшего коэффициента) называется теоремой Безу? Никогда не знал. Можно какую-нибудь ссылку? Для меня теорема Безу --- это утверждение о том, $f(x)$ делится на $x-a$ тогда и только тогда, когда $f(a)=0$.
Нет, речь же шла не о самой теореме Безу, а о ее следствии (которое, насколько мне известно, именной теоремой не является).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 15:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Pphantom в сообщении #1420464 писал(а):
Нет, речь же шла не о самой теореме Безу, а о ее следствии
А что за следствие? Вот мы хотим доказать утверждение: любой рациональный корень нормированного многочлена с целыми коэффициентами должен быть целым числом. Я не понимаю, как нам тут может помочь теорема Безу или какое-то ее следствие. Можете пояснить? Вопрос, конечно, пустяковый, просто любопытно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 15:54 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Ну что ж, попробую восстановить (факт-то я помню, а доказательство за давностию лет забыл)... Нет, не получается. По-видимому, это все-таки ошибка. Т.е. доказательство-то я придумал, но теорему Безу действительно в него осмысленным образом не втиснуть, вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение13.10.2019, 16:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Pphantom
ОК, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число иррационально.
Сообщение14.10.2019, 13:19 
Заблокирован


16/04/18

1129
Получается, что так можно доказать иррациональность корня любой степени из натурального числа, если тот не извлекается. Границы для последней оценки можно взять из десятичного приближения. Не знал этого приёма, спасибо за науку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group