Не-проективная плоскость,проективная плоскость Лобачевского?

[Munin]

На эту мысль меня навели следующие рассуждения и объяснения уважаемого arseniiv:

arseniiv в сообщении #1419820 писал(а):

Есть два широкоизвестных расширения $\mathbb R$ — компактификаций как топологического пространства — одноточечной, когда добавляется $\infty$, «беззнаковая бесконечность», и двухточечной, добавлением $\pm\infty$. Первая портит порядок и по сути её уместно рассматривать как проективную прямую $\mathbb R\mathrm P^1$, на которой фиксирована аффинная карта (выделяющая, какие точки этой прямой сопоставить вещественным числам, а какая останется за $\infty$); в любом случае здесь удобнее говорить о проективных преобразованиях, чем пытаться это делать для $\mathbb R$ (ситуация ровно та же, что с комплексной сферой Римана $\mathbb C\mathrm P^1$). Вторая порядок любит и добавляет к нему наименьший и наибольший элементы, можно например теперь определить, что $\sup\varnothing = -\infty$, и это чуть упростит некоторые детали.

Обе компактификации могут упростить определение бесконечных пределов (каждая своих), потому что у нас теперь есть элементы, к которым последовательности с такими пределами сходятся совершенно обычным образом.

Я стал размышлять о двумерном случае. Широко известны две компактификации плоскости $\mathbb{R}^2$:
- когда мы добавляем прямую, и получаем $\mathbb{R}P^2$ (проективную плоскость);
- и когда мы добавляем одну точку, и получаем $\mathbb{C}P^1$ (сферу Римана = проективную комплексную прямую).

А существует ли двумерный аналог двухточечной компактификации $\mathbb{R}$? Я бы понимал его как что-то похожее на $\mathbb{R}P^2,$ но с таким отличием: в случае $\mathbb{R}P^2$ каждая прямая на плоскости $\mathbb{R}^2$ получает одну бесконечно удалённую точку, а здесь пусть каждая прямая получает две бесконечно удалённые точки. Между собой они сливаются в $S^1.$ Такие бесконечно удалённые точки на $\mathbb{R}P^2$ индексируют направления прямых, а здесь они будут индексировать направления лучей / осей - ориентированных прямых.

Существует ли какая-то алгебраическая конструкция, порождающая такую "не-проективную плоскость"? Проективную плоскость топологически можно построить, взяв сферу $S^2$ вокруг начала координат, и отождествляя противоположные точки. Или, что то же самое, ставя точке в соответствие прямую через $O,$ которая проходит через эту точку. Если взять вместо сферы 2-полостной гиперболоид, то совершая такое же отождествление, мы получаем плоскость Лобачевского. Однако множество прямых образует внутренность конуса без края, и его можно компактифицировать. Добавленные прямые будут асимптотами гиперболоида. Таким образом, мы добавляем к плоскости Лобачевского ровно те точки, которые хотели добавить. И они получают хорошую интерпретацию в геометрии Лобачевского: это "точки пересечения" пучков параллельных прямых. Напомню, что в отличие от евклидовой плоскости, на плоскости Лобачевского параллельные прямые "сходятся к одному концу", и потому ориентированы. Но всё же это не вполне алгебраическая конструкция, что меня не вполне устраивает. (Непонятно, как её обобщить на другие поля, например.) И разумеется, нет никаких проективных преобразований. Бесконечно удалённые точки остаются "неполноправными".

Поиск по форуму дал только post75813.html#p75813 , где в 2007 году высказано мнение, что такого ещё не придумано.

Есть ли у кого объяснения, что это за конструкция(и), и где про них (на самом элементарном уровне!!!) почитать?

-- 11.10.2019 18:10:27 --

(Насчёт пользы от этой конструкции: она позволяла бы описывать предельные переходы "к бесконечности" на двумерной плоскости.)

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1420267 писал(а):

А существует ли двумерный аналог двухточечной компактификации $\mathbb{R}$? Я бы понимал его как что-то похожее на $\mathbb{R}P^2,$ но с таким отличием: в случае $\mathbb{R}P^2$ каждая прямая на плоскости $\mathbb{R}^2$ получает одну бесконечно удалённую точку, а здесь пусть каждая прямая получает две бесконечно удалённые точки. Между собой они сливаются в $S^1.$ Такие бесконечно удалённые точки на $\mathbb{R}P^2$ индексируют направления прямых, а здесь они будут индексировать направления лучей / осей - ориентированных прямых.

Существует ли какая-то алгебраическая конструкция, порождающая такую "не-проективную плоскость"?

Что Вы понимаете под "алгебраической конструкцией"? Можете написать, какая "алгебраическая конструкция" порождает двухточечную компактификацию $\mathbb{R}$, чтобы было понятно, что именно Вы хотите иметь для своей "многоточечной" компактификации $\mathbb{R}^2$.

С топологической точки зрения Ваша компактификация - это просто замкнутый круг (сама плоскость гомеоморфна открытому кругу, так что каждому лучу на плоскости, исходящему из начала координат, соответствует радиус этого открытого круга; когда мы добавляем по бесконечно удалённой точке для каждого луча, получаем замкнутый круг; нетрудно видеть, что сонаправленным лучам будет соответствовать одна и та же бесконечно удалённая точка при таком построении - как, видимо, Вы и хотите).
Таким образом, чтобы построить Вашу компактификацию, никакие факторпространства (сферы ли, гиперболоида ли) не требуются.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1420272 писал(а):

Что Вы понимаете под "алгебраической конструкцией"?

Например, стандартные проективные пространства, которые строятся факторизацией линейных пространств. В такой конструкции не упоминается топология, и она может быть воспроизведена, скажем, для линейных пространств над конечным полем.

Mikhail_K в сообщении #1420272 писал(а):

Можете написать, какая "алгебраическая конструкция" порождает двухточечную компактификацию $\mathbb{R}$

Не могу, в том-то и дело :-) А то бы я подумал ещё, как её сделать двумерной.

Mikhail_K в сообщении #1420272 писал(а):

С топологической точки зрения Ваша компактификация - это просто замкнутый круг

Согласен. Но хотелось бы чего-то более чем топологического. (Геометрическую интерпретацию для плоскости Лобачевского я какую-то предложил, но она не слишком содержательна.)

-- 11.10.2019 19:15:14 --

Mikhail_K в сообщении #1420272 писал(а):

Таким образом, чтобы построить Вашу компактификацию, никакие факторпространства (сферы ли, гиперболоида ли) не требуются.

Может быть, но это были "попытки решения".

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1420275 писал(а):

Но хотелось бы чего-то более чем топологического.

А сформулируйте, что именно "большее чем топологическое" Вам хотелось бы получить. Каковы требования?
Ну, например, берём в трёхмерном пространстве заполненный конус $x^2+y^2-z^2\leq 0$. (Если угодно, выкинем из него вершину.) Затем перейдём к фактормножеству, элементами которого будут прямые, лежащие в этом конусе и проходящие через начало координат. Чем не алгебраическая конструкция? Можно даже себе представить так, что искомая плоскость с бесконечно удалёнными точками - это унесённое в бесконечность "основание" этого бесконечного конуса.
С конечными полями, правда, вряд ли такое получится, это да.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1420278 писал(а):

А сформулируйте, что именно "большее чем топологическое" Вам хотелось бы получить.

Какие-то структуры, какой-то смысл. Алгебраические, геометрические, аналитические.

Хотелось бы иметь почву для обобщения на другие размерности (ну это просто), на другие поля, на что-то ещё.

Mikhail_K в сообщении #1420278 писал(а):

Ну, например, берём в трёхмерном пространстве заполненный конус $x^2+y^2-z^2\leq 0$. (Если угодно, выкинем из него вершину.) Затем перейдём к фактормножеству, элементами которого будут прямые, лежащие в этом конусе и проходящие через начало координат. Чем не алгебраическая конструкция?

Словом "заполненный". Если я захочу выбрать $x,y,z\in\mathbb{C}$ или $\in\mathbb{F}_{17^{27}},$ я не смогу записать неравенства: там нет порядка. То есть проблема даже на уровне $\mathbb{C},\mathbb{H}$ или $\mathbb{A},$ или $\mathbb{Q}_p,$ не то что конечные поля.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1420287 писал(а):

Словом "заполненный".

Если поле $\mathbb{R}$ - берём сферу $x^2+y^2+z^2=1$ и отождествляем на ней каждую точку $(x,y,z)$ с соответствующей точкой $(x,y,-z)$. Те точки, которые не пришлось ни с чем отождествлять - и есть бесконечно удалённые.
Здесь уже не нужен порядок и, думается, проблем при обобщениях на другие поля будет несколько меньше.

[Munin]

Надо подумать. (Для полей $\operatorname{char}K=2$ всё равно не работает :-)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1420267 писал(а):

- когда мы добавляем прямую, и получаем $\mathbb{R}P^2$ (проективную плоскость);

Только проективную прямую.

Munin в сообщении #1420267 писал(а):

Но всё же это не вполне алгебраическая конструкция, что меня не вполне устраивает.

Так ведь двухточечная компактификация $\mathbb R$ тоже вроде алгебраически не выходит. По крайней мере, я слышал о ней не больше, чем об алгебраическом способе приделать к плоскости бесконечно удалённую окружность.

А, стоп. Вот мы делаем проективное пространство. Вместо того чтобы считать его точками прямые исходного, давайте считать ими лучи (с началом в нуле, конечно). Что там получится? Хм, да, получится не то — две склеенные по бесконечно удалённой окружности плоскости. И Mikhail_K уже решил проблему этого подхода.

-- Сб окт 12, 2019 01:59:03 --

Правда надо ещё туда перенести алгебраические операции как-нибудь. Когда мы строим проективное пространство (или например аффинное как подпространство подмногообразие), мы можем на основе операций старого линейного ввести операции на новом, а тут?

[Munin]

arseniiv в сообщении #1420305 писал(а):

А, стоп. Вот мы делаем проективное пространство. Вместо того чтобы считать его точками прямые исходного, давайте считать ими лучи (с началом в нуле, конечно). Что там получится? Хм, да, получится не то — две склеенные по бесконечно удалённой окружности плоскости.

Ну почему. Так тоже можно.

arseniiv в сообщении #1420305 писал(а):

Правда надо ещё туда перенести алгебраические операции как-нибудь.

Да не обязательно. $\mathrm{PGL}(V)$ ведь не из алгебраических операций состоит.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1420318 писал(а):

Ну почему. Так тоже можно.

Да, конечно. Вообще так должно выйти обычное эллиптическое пространство, если мы не будем выделять бесконечно удалённую часть и «изнанку».

Кстати похожая вещь выходит если посмотреть на небесную сферу галилеевого мира (надоело писать «пространство-время») — нулевые векторы лежат в плоскости, а мы от них оставляем только направления, и «внутренности» небесных сфер прошлого и будущего (сами-то сферы совпали, но внутренности-то нет) — это обычные евклидовы плоскости. Теперь мы можем взять лишь одну из них и «компактифицировать небесной сферой», а другую не брать.

-- Сб окт 12, 2019 03:03:42 --

Собственно, она делается так же как вы делали с минковским случаем. Что интересно, я думал недавно об этих небесных сферах по другой причине (Пенроуз писал про наглядное представление спинора как флага то ли на небесной сфере, то ли где-то рядом, и я подумал, а что будет со спинорами в евклидовом пространстве… а там нет небесной сферы ни одной).

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1420321 писал(а):

и я подумал, а что будет со спинорами в евклидовом пространстве…

А вы разве через алгебры Клиффорда не можете?

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1420318 писал(а):

Ну почему. Так тоже можно.

Нет нельзя (если я правильно понял, о чём речь). arseniiv имеет в виду следующее. Если взять в трёхмерном пространстве множество всех прямых, проходящих через начало координат, то это будет проективная плоскость. А если взять множество всех лучей с началом в нуле - то получится просто сфера, а вовсе не нужная нам компактификация плоскости. Чтобы получить нашу компактификацию, некоторые из этих лучей нужно будет ещё дополнительно склеить, причём так же, как в моём построении. Так что лучше иметь дело сразу со сферой, чем с лучами.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1420330 писал(а):

Так что лучше иметь дело сразу со сферой, чем с лучами.

А я так и понял, что он предлагает со сферой.

"Луч" тоже непросто выразить алгебраически - опять же из-за того, что он подразумевает неравенство.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1420328 писал(а):

А вы разве через алгебры Клиффорда не можете?

Могу (ну, не совсем: как следует я ещё не разобрался и тот курс не прослушал), просто я решил тогда, что у Пенроуза это тоже естественная конструкция (ну, у него это следствие), но видимо это что-то случайное, плюс эта конструкция довольно наглядна сразу же.

Munin в сообщении #1420342 писал(а):

"Луч" тоже непросто выразить алгебраически - опять же из-за того, что он подразумевает неравенство.

Если считать, что мы выделили положительные скаляры заранее, то можно не думать о неравенствах.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1420358 писал(а):

Если считать, что мы выделили положительные скаляры заранее

Мне трудно выделить положительные скаляры в $\mathbb{F}_{p},$ и уж тем более в $\mathbb{F}_{p^n}.$