Точечный мгновенный источник в однородной среде

[Ms-dos4]

Добрый день!

Подоспели очередные глупые вопросы. Столкнулся с задачей, которой ранее не занимался: требуется найти пространственное и временное распределение а также спектр по энергиям для излучения мгновенного изотропного точечного источника имеющего спектр по энергиям $f(E)$ с учётом многократного рассеяния. Собственно понятно, что нужно решать уравнение Больцмана ($\Phi $ - дифференциальная по углам и энергии плотность потока в момент времени $t$)

$$\frac{1}{v}\frac{\partial }{{\partial t}}\Phi ({\bf{r}},{\bf{\Omega }},E,t) + {\bf{\Omega }}\nabla \Phi + [{\chi _s}(E) + {\chi _a}(E)]\Phi - \int {d{\bf{\Omega }}'\int {dE'{\chi _s}({\bf{\Omega }}',{\bf{\Omega }},E',E)} \Phi (r,{\bf{\Omega }}',E',t)} = S({\bf{r}},{\bf{\Omega }},E,t)$$

Здесь ${{\chi _s}({\bf{\Omega }}',{\bf{\Omega }},E',E)}$ - дифференциальное по углам и энергиям сечение рассеяния, ${\chi _a}(E)$ и ${\chi _s}(E)$ - сечение фотопоглощения и рассеяния соотв.
Рассмотрим интеграл столкновений. Рассеяние в системе состоит из релеевского и комптоновского рассеяний, для релеевского рассеяния энергия не меняется, поэтому дважды дифференциальное сечение можно представить как дифференциальное по углу ${\chi _r} = {\chi _{rd}}(\vartheta ,E)\delta (E - E')$ (здесь и далее $\vartheta = \sin \theta \sin \theta '\cos (\varphi - \varphi ') + \cos \theta \cos \theta '$ - косинус угла рассеяния). Для комптоновского рассеяния угол рассеяния связан с изменением энергии, поэтому аналогично мы можем перейти к дифференциальному по энергии сечению рассеяния ${\chi _c} = {\chi _{cd}}(\vartheta ,E,E')\delta (\vartheta - \alpha (E,E'))$, что с учётом сферической симметрии даёт нам

$$\frac{1}{c}\frac{\partial }{{\partial t}}\Phi (r,\mu ,E,t) + \mu \frac{{\partial \Phi }}{{\partial r}} + \frac{{1 - {\mu ^2}}}{r}\frac{{\partial \Phi }}{{\partial \mu }} + [{\chi _{sc}}(E) + {\chi _{ab}}(E)]\Phi - \operatorname{St} (\Phi ) = {S_0}f(E)\frac{{\delta (r)}}{{4\pi {r^2}}}$$

где $\mu = \cos \theta $ и

$$\operatorname{St} (\Phi ) = \int\limits_{ - 1}^{ - 1} {{\chi _{rd}}(\vartheta ,E)\Phi (r,\mu ',E,t)d\mu '} + \int {{\chi _{cd}}(E,E')\Phi (r,E',t)dE'} $$

Собственно вопрос что дальше с этим делать. Уравнение нестационарное, и даже если применить преобразование Лапласа потом это не разгребешь. В целом понятно, что нужно считать численно, но мне не очень понятно как именно (особенно в части связанной с интегралом столкновений, а также учитывая множество переменных). Знаю, что такое считают методом Монте-Карло, но тут мне немного неясно, что делать с комптоновским рассеянием - учитывая что угол рассеяния и изменение энергии связаны, как именно мы должны разыгрывать такое взаимодействие (напр. разыгрывать по углу и затем вычислять новую энергию?). К тому же алгоритм явно не является наивным (с простым розыгрышем траекторий) и есть много хитростей. В общем есть ли литература где очень подробно выписаны методы решения таких нестационарных задач (я копался в Линейной теории переноса Кейза и Цвайфеля, теории переноса Дэвисона, но там в основном рассмотрены стационарные задачи и нет подробного описания алгоритмов). В статьях же на подобную тематику никаких подробностей вычислений я не нашел.

[mihiv]

Видимо, нужно учитывать и вклад фотонов характеристического излучения.