Кривизна пространства и неоднородность/анизотропия

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1417886 писал(а):

Но если координаты уже заданы и точки адресованы, то горазд труднее понять, каким образом в этом случае можно еще и метрику задать совершенно независимо.

Координаты мы можем назначать достаточно произвольно: взять хотя бы обычный кусок плоскости $D$, на нём можно построить самые разнообразные системы координат. Например, возьмём некоторое непересекающееся семейство кривых, покрывающее $D$ (то есть для любой точки $a\in D$ найдётся кривая из семейства, которая содержит $a$). Если кривым сопоставить разные числа, это задаст нам одну координату на точках $D$. Взяв ещё одно семейство и добавив нехитрые требования, мы получим взаимно однозначное отображение между $D$ и каким-то куском координатного пространства $\mathbb R^2$, мы задали координаты.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Но я все же не могу не заметить, что понятие не метрического пространства, в котором сетка координат есть, а расстояния все равно нет (если мы его еще не определили) - это очень, очень странное понятие.

Нормальное понятие.

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Очевидно, что мы должны просто назначить его, и все.

Строго говоря, это координаты мы назначаем как угодно. А расстояния обычно назначает реальность, независимым от нашего желания способом.

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Сначала я долго думал, что речь идет просто о криволинейных координатах на плоскости, а метрический тензор просто задает закон деформации прямоугольных координат в криволинейные (соответственно, никакой независимости координат и расстояния нет, каждая криволинейная клетка по прежнему имеет стороны единичной длины).

Потому что начинать думать о метрике нужно не с деформаций, а с помимания того, что метрика - это расстояния между точками.

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Гораздо интереснее, когда метрический тензор задает такую деформацию, которая вынуждает плоскость разорваться, т.е. такую деформацию пространства, которая приводит к изменению его кривизны.

Изменение кривизны - это ещё не разрыв.

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Мне кажется, что этот пример позволяет четко понять где - переход от одних криволинейных координат к другим, а где - от одной кривизны пространства к другой.

Забудьте о координатах, и у Вас не будет возникать желания придумывать примеры таких различий. Искривлённое метрическое пространство - это когда Вы измерили длину окружности и с удивлением обнаружили, что она отличается от $\pi$ диаметров. Где здесь координаты?

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Компоненты метрического тензора должны гладко зависеть от координат. В противном случае очевидно нарушается условие связности, результат такой деформации уже ни во что не сложишь. Как в вашем примере.

Угу, если координаты гладкие.
А если их вообще нет, вот вопрос.

И связностью обычно называют то, что определяет параллельный перенос. А то, о чём говорите Вы (если я правильно понял), относится к топологии.

[sergey zhukov]

Всем спасибо за ответ.

epros в сообщении #1418309 писал(а):

Искривлённое метрическое пространство - это когда Вы измерили длину окружности и с удивлением обнаружили, что она отличается от $\pi$ диаметров. Где здесь координаты?

Да, верно. Мы живем в искривленном пространстве, но наша модель этого пространства - это всегда маленький лист бумаги, который из-за своей малости в пространстве любой кривизны всегда плоский. Когда модельные геометрические построения на этом листе бумаги перестают совпадать с их масштабированными (увеличенными) физическими воплощениями в реальном пространстве (например, длина большой окружности отличается от $\pi$ ее диаметров, хотя в маленькой модели - не отличается), то мы понимаем, что по какой-то причине в нашем пространстве нельзя построить точную увеличенную копию того, что можно построить в этом же пространстве на модельном листе бумаги. На нашей модельной плоскости тут не просматривается никаких трудностей, масштабирование в пределах листа действует безотказно и мысленно естественным образом экстраполируется за пределы листа. Но оказывается, что строго говоря, невозможно построить две конструкции, которые различаются только масштабом, а во всем остальном в точности одинаковы.
При этом мы не видим, что же нам собственно мешает это сделать. Например, мы берем веревку длины $L$ и рисуем круг, используя ее, как диаметр. После этого обнаруживаем, что отношение окружности к диаметру не равно $\pi$. Можно построить такой же круг, как предел вписанного многоугольника. Для этого мы можем обойтись без веревки, но нам нужно на каждом шаге использовать линейку и угломер. Тогда мы обнаруживаем, что полученная кривая не замыкается, т.е. она не образует круг.
Из этого мы должны заключить, что модель пространства в виде маленького листа бумаги просто неправильная. Масштабирование - это преобразование, которое корректно работает только тогда, когда абсолютные размеры построения до и после преобразования не сильно различаются.
Встает вопрос - что такое малые и большие размеры? Мы видим, что можно без проблем увеличить масштаб изображения с 1 см до 100 см, но то же самое нельзя сделать, скажем, для размеров с 1 парсек до 100 парсек. Проблема не в степени масштабирования, а в разнице абсолютных размеров сравниваемых построений. Можно построить новое тело, умножив все размеры старого на $N$, если разница между начальным и конечным характерным абсолютным размером будет малой (скажем 100 см). Но если экстраполировать это на случай, когда разница в характерном размере тел до и после масштабирования будет большой (скажем 100 парсек), то можно убедится в том, что такого тела просто не существует. Тела, характерный абсолютный размер которых сильно различается, просто не могут быть подобны.
Кривизна пространства (для пространства постоянной кривизны) - это размер, который определяет максимальную разницу между характерными размерами тел, относительно которых еще можно говорить о том, что они могут быть подобны.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1419034 писал(а):

Тогда мы обнаруживаем, что полученная кривая не замыкается, т.е. она не образует круг.

Не понял я этой логики. Окружность (сфера) - это по определению множество точек, отстоящих на заданное расстояние от центра.

sergey zhukov в сообщении #1419034 писал(а):

Кривизна пространства (для пространства постоянной кривизны) - это размер, который определяет максимальную разницу между характерными размерами тел, относительно которых еще можно говорить о том, что они могут быть подобны.

Кривизна пространства - это величина, определённым образом связанная с "масштабами". В частности, для сферы кривизна равна обратному квадрату её радиуса, которым и определяются масштабы, на которых кривизной поверхности можно пренебречь. Т.е. если рассматриваемая фигура на сфере много меньше радиуса сферы, то её отличиями от плоской можно пренебречь.

В более чем двумерном пространстве то же самое, но можно говорить о нескольких компонентах кривизны. Например, в трёхмерном пространстве можно отдельно учитывать кривизну в трёх разных плоскостях, в четырёхмерном - в шести разных плоскостях и т.д.

И да, с подобием в искривлённом пространстве будут проблемы. например, у равностороннего треугольника окажется разная сумма углов в зависимости от его размера.

Смысл и цель остальных Ваших рассуждений я не понял.

[arseniiv]

sergey zhukov
Та «незамыкающаяся окружность», которую вы пытаетесь представить, кривизной как раз не отличается от прямой, потому что у одномерных гладких многообразий кривизна (не забывайте, мы о внутренней кривизне! и вообще о внутренних свойствах) везде ноль. Интересности начинаются с двумерных, и со сферой такой трюк уже не провернёшь, посмотрите на конструкцию epros с расходящейся (и потом сходящейся) от какой-то точки окружностью. Я понятия не имею, так ли доказывается это обычно, но выглядит довольно убедительно.

[Munin]

sergey zhukov
Когда!
Вы!
Возьмёте!
Учебник!?!

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1419112 писал(а):

sergey zhukov
Когда!
Вы!
Возьмёте!
Учебник!?!

Я конечно взял учебник. Математически мне все ясно. Тензор кривизны пространства размерности $n$ характеризует изменение, которое претерпевает вектор, параллельно перенесенный по бесконечно малому замкнутому контуру, лежащему в любом секционном направлении. Количество $m$ таких направлений (плоскостей), необходимых для однозначного определения тензора кривизны, равно числу пар сочетаний ортов координатной системы, т.е. $n!/2!(n-2)!$. Для размерности $n=1 m=0$, $n=2 m=1$, $n=3 m=3$, $n=4 m=6$ и т.д.

arseniiv в сообщении #1419053 писал(а):

Та «незамыкающаяся окружность», которую вы пытаетесь представить, кривизной как раз не отличается от прямой

Я хотел сказать вот что: окружность на плоскости можно определить двумя способами:

1. Множество точек, равноотстоящих от данной;
2. Предел правильного $n$-угольника при увеличении n до бесконечности.

Чтобы последовательно построить правильный $n$-угольник, используя только локальные измерения и двигаясь вдоль периметра, нужно последовательно $n$ раз отложить внешний угол $360/n$ между одинаковыми сторонами. В искривленном пространстве это построение не замыкается.

С самого начала этой темы я хотел найти пример, который дает хорошее представление о том, чем же искривленное пространство отличается от плоского. Вот неплохой пример.

В искривленном пространстве (даже постоянной кривизны) из маленьких кубиков невозможно без зазоров сложить большой куб (вообще ничего нельзя сложить). Значит ли это, что в таком пространстве размер и форма маленьких кубиков меняется при их переносе из одной точки пространства в другую, и поэтому они не складываются? Нет, это как раз оттого, что все маленькие кубики одинаковы, а в искривленном пространстве невозможно сложить именно одинаковые кубики (можно как раз только разные). Можно так же сказать, что в искривленном пространстве никакое тело нельзя нарезать на одинаковые кубики. Если бы это было возможно, то мы получили бы большой куб, подобный маленькому, но в искривленном пространстве вообще не может быть кубов, как тел, полностью подобных маленьким кубикам (последние понимаются, как предельно малые).

Вообще, в пространстве постоянной кривизны (а тем более произвольной) сложить в сплошное тело любые одинаковые элементы, либо разрезать сплошное тело на одинаковые элементы невозможно (за некоторыми единичными исключениями: либо все куски имеют общую точку, либо специальный случай вроде деления сферы на 4, 6, 8 или 20 одинаковых кусков).

Пространство постоянной кривизны изотропно и однородно, но не самоподобно. Малые области пространства не подобны большим, что выражается, в частности, в невозможности сложить куб из кубиков.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1419467 писал(а):

Я хотел сказать вот что: окружность на плоскости можно определить двумя способами:

1. Множество точек, равноотстоящих от данной;
2. Предел правильного $n$-угольника при увеличении n до бесконечности.

Я бы посчитал то, что вторая конструкция даёт окружность, теоремой. В метрических пространствах шары определяются образом, аналогичным первому; не помню, чтобы особо говорили об окружностях, но ничто не мешает делать то же, и на сфере окружности определяются всегда первым образом или как пересечение со сферой (но когда мы рассматриваем одну сферу только внутренне, такое определение никуда не сгодится).

А то, что вы пишете про кубики и подобие — это уже глобальные следствия, а кривизна локальна, так что как-то неудобно сводить её к ним. Иллюстрации — ну может быть другое дело.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1419467 писал(а):

Я конечно взял учебник.

Какой конкретно? До какого места вы его дочитали?

sergey zhukov в сообщении #1419467 писал(а):

Математически мне все ясно.

Не врите. Человек, которому было бы математически всё ясно, не произносил бы ту чушь, которую произносите вы.

sergey zhukov в сообщении #1419467 писал(а):

Тензор кривизны пространства размерности $n$ характеризует изменение

Не бывает в учебниках такого понятия. В учебниках есть другие понятия, названные фамилиями учёных. Видно, что вы учебника не читали.

sergey zhukov в сообщении #1419467 писал(а):

Я хотел сказать вот что: окружность на плоскости можно определить двумя способами

Гораздо большим числом, и не таких, как ваш 2.

sergey zhukov в сообщении #1419467 писал(а):

Вот неплохой пример.

Плохой, потому что грубо ошибочный. А примеры в учебниках вы не знаете, потому что учебников не открывали.

sergey zhukov в сообщении #1419467 писал(а):

Вообще, в пространстве постоянной кривизны (а тем более произвольной) сложить в сплошное тело любые одинаковые элементы, либо разрезать сплошное тело на одинаковые элементы невозможно

Полный бред. Не только возможно, но этому посвящён большой раздел математики.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1419488 писал(а):

Не врите. Человек, которому было бы математически всё ясно, не произносил бы ту чушь, которую произносите вы.

Да, ничего от вас не скроешь. Каюсь, я до сих пор изучил математическое определение тензора кривизны только поверхностно, а определение придумал сам. Может, оно и не строгое, но сомневаюсь, чтобы оно было совершенно неверно.
Пока я изучал определение параллельного переноса вектора, то понял, что физически параллельный перенос вектора в пространстве соответствует просто переносу гироскопа. Мы берем два гироскопа с параллельными осями и переносим один относительно другого по малому замкнутому контуру. Если после переноса оси перестали быть параллельными, то пространство искривлено. Чтобы полностью определить кривизну трехмерного пространства в данной точке, нужно сделать такой перенос в трех плоскостях.


Натолкнулся на интересную программу Curved Space. Наблюдатель находится внутри выпуклого многогранника, грани одинакового цвета которого попарно отождествлены друг с другом (или даже сами с собой зеркальным способом). Внутри многогранника получается замкнутое пространство: смотришь в проем любой грани и видишь сам себя из проема в отождествленной грани. Т.е. эта программа моделирует замкнутое пространство в виде многогранника.

В программе есть разные пространства: плоские, сферические и гиперболические. И вот что я не понял. Способ отождествления граней многогранника, т.е. способ замыкания пространства, вроды бы никак не связан с его кривизной. Неважно, какую грань с какой "склеить" и с каким поворотом, все равно пространство будет плоским. Просто оно будет замкнуто либо как цилиндр, либо как тор, либо как лента Мебиуса и т.д. Форма самого многогранника тоже по моему, не играет роли. Т.е. кривизну пространства нельзя смоделировать, задавая способ отождествления сторон многогранника и его вид в обычном евклидовом пространстве.

В программе есть два случая сферического и гиперболического пространства - и оба сделаны на основе додекаэдра (плоского пространства на основе додекаэдра почему-то нет). Даже по перспективным искажениям видно, что додекаэдр сферического пространства изнутри выглядит совсем не так, как додекаэдр гиперболического пространства, т.е. кривизна пространства проявляется уже внутри додекаэдра, а не только при переходе через грань.

Правильно ли я понимаю, что кривизна пространства и способ отождествления разных граней такого многогранника - это независимые вещи?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1420157 писал(а):

Способ отождествления граней многогранника, т.е. способ замыкания пространства, вроды бы никак не связан с его кривизной.

Связан. Не все склейки возможны в плоском пространстве.

sergey zhukov в сообщении #1420157 писал(а):

плоского пространства на основе додекаэдра почему-то нет

Именно потому что.

-- 10.10.2019 21:48:33 --

sergey zhukov в сообщении #1420157 писал(а):

Пока я изучал определение параллельного переноса вектора, то понял, что физически параллельный перенос вектора в пространстве соответствует просто переносу гироскопа.

Не совсем, но близко. Перенос гироскопа называется переносом спина, а не вектора.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1420157 писал(а):

Неважно, какую грань с какой "склеить" и с каким поворотом, все равно пространство будет плоским.

Попробуйте параллельно перенести вектор вдоль контура, проведённого вокруг ребра.

[sergey zhukov]

Понятно. Все плоские модели используют многогранники и метод склейки, которые складываются в обьемный паркет в евклидовом пространстве (призма, куб, ромбододэкаэдр, усеченный октаэдр). А эллиптические и гиперболические модели используют многогранники и метод склейки, из которых можно сложить обьемный паркет соответственно в этих пространствах. Например, додекаэдр.

epros в сообщении #1420243 писал(а):

Попробуйте параллельно перенести вектор вдоль контура, проведённого вокруг ребра.

Возьмем куб и отождествим его стороны произвольно. Например, вот так:

Будем переносить вектор вокруг грани, начиная с положения А. Перенос состоит из четырех операций (предполагаем, что на каждой грани сходятся четыре куба). В конце переноса в положении В вектор оказывается повернут к исходному положению на прямой угол. Т.е. такое отождествление сторон куба задает искривленное пространство. Если перенос вектора продолжать и дальше, то в конце концов он станет параллельным (или антипараллельным) начальному положению, но тогда нужно предположить, что на одной грани сходится более четырех кубов. Так?

Тогда получается, что кривизна пространства определяется именно формой многогранника и способом отождествления сторон. Параллельный перенос вектора вокруг разных ребер определяет различные компоненты кривизны?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1420264 писал(а):

Перенос состоит из четырех операций (предполагаем, что на каждой грани сходятся четыре куба).

Вы не завершили перенос. Нельзя предполагать, что на каждом ребре сходится четыре куба. (На каждой грани - заведомо всегда два.) Вместо этого, надо переносить вектор по правилам склейки, пока он не вернётся в исходную точку. Окажется, что на ребре сходится другое число кубов (какое именно - вот и выясните).

-- 11.10.2019 18:15:58 --

(У меня получилось 11. Почти все рёбра склеены в одно, только одно какое-то не с ними. Или я обсчитался.)

-- 11.10.2019 18:23:27 --

(Не обсчитался. Последнее ребро - крайнее правое вертикальное между двумя синими гранями - замкнуто на само себя. На нём сходится только один куб.)

[sergey zhukov]

Ребра назвал гранями и наоборот.

Да, нужно 11 раз пересечь грань, чтобы обойти ребро. И одно ребро тут само по себе. Т.е. плоское пространство в случае куба может получиться, только если отождествить его грани так, чтобы обход любого ребра заканчивался через 4 пересечения грани. Если же обход любого ребра куба заканчивается, скажем, через 3 грани, то это эллиптическое пространство. Если через 5 и более - гиперболическое. По крайней мере с додекаэдром так.
Вначале я думал, что достаточно как попало склеить грани многогранника, вовсе не думая о том, как он замощает пространство. В конце концов, ничего вне этого многогранника ведь нет. Он один и представляет собой все пространство, чего же нам беспокоиться о замощении? Но потом я понял, что произвольная склейка приводит к странному результату. Такое пространство визуально будет выглядеть разрывным на ребрах (допустим, бесконечно тонких). Т.е. с правой стороны ребра картинка не будет стыковаться с тем, что видно с левой стороны этого же ребра. Как на стыке фотообоев, которые наклеили внахлест или даже справа наклеили вертикально, а слева - горизонтально. Очевидно, это какое-то дефектное пространство.