Новая антимония для теории множеств?

[Pulseofmalstrem]

Добрый день, на днях в голову пришла одна конструкция с помощью которой можно сгенерировать парадокс хотя бы в наивной теории множеств, и в целом я не могу понять можно ли ее реализовать в аксиоматическом случае, а потому прошу разъяснений.

Итак, сперва наивная конструкция: назовем действительное число $\alpha$ определимым, если существует конечная корректная математическая конструкция, которая задает данное число. Например, натуральные и рациональные числа определимы, также определимы алгебраические и вычислимые числа (натуральные и рациональные задаются своей записью, алгебраические задаются уравнением, а вычислимые можно задать программой, которая их вычисляет). Обозначим множество всех определимых чисел за $D$, тогда $D$ - счетно, так как каждому определимому числу соответствует фраза в математическом языке, а такие фразы можно занумеровать в алфавитном порядке.
Тогда определим следующее парадоксальное число $\Omega$ с помощью диагональной конструкции:
Пусть $i$-тый знак в двоичной записи числа $\Omega$ есть инверсия $i$-того знака для $i$-того определимого числа. Таким образом, с одной стороны число $\Omega$ не может быть определимым, так как оно отличается от любого такого числа в некотором знаке своей двоичной записи, но с другой стороны данное число было определено нами с помощью конечного предложения, а потому оно определимо по построению, что дает нам искомый парадокс.

Вопрос в том, почему такая конструкция невозможно на языке аксиоматической теории множеств, единственное, что лезет в голову - это мысль о том, что множество всех определимых чисел не должно быть множеством, его не должно существовать, то есть грубо говоря не должно быть способа отделить те числа, о которых мы можем помыслить от тех чисел, которые мы не может даже вообразить.

[Connector]

Pulseofmalstrem в сообщении #1418322 писал(а):

$D$ - счетно, так как каждому определимому числу соответствует фраза в математическом языке, а такие фразы можно занумеровать в алфавитном порядке.

Это место мне непонятно. Множество действительных чисел уже не счётно: каждое имеет имя, но занумеровать эти имена в алфавитном порядке невозможно.
UPD. Понял, извините. Был невнимателен.

[Pulseofmalstrem]

Connector
Я потребовал конечности имени, если вы обратите внимание, а записи действительных чисел не имеют конца для иррациональных чисел например.

Цитата:

если существует конечная корректная математическая конструкция

[mihaild]

Pulseofmalstrem в сообщении #1418322 писал(а):

данное число было определено нами с помощью конечного предложения

Только в этом предложении мы говорили о формулах теории, поэтому оно уже сформулировано в языке метатеории. И да, получается, что в метатеории можно определить числа, которые нельзя определить в теории.

[george66]

Антиномия!
https://en.wikipedia.org/wiki/Antinomy
https://en.wikipedia.org/wiki/Antimony

[tolstopuz]

Вот один довольно наивный способ формализации.

Давайте для определенности положим, что каждое определимое число будет задаваться конечной программой, которая его вычисляет. Остальные случаи легко сводятся к этому.

Программа - это конечный текст, который либо выдает число цифра за цифрой, либо на каком-то этапе не выдает очередную цифру никогда, то есть зацикливается, всевозможные ошибки будем рассматривать как частные случаи зацикливания.

Теперь попробуем написать программу для этого парадоксального числа. Я вижу два варианта, оба плохие.

1. Мы могли бы положить в эту программу полный список всех определимых чисел, то есть их программ. Но тут есть проблема - их бесконечное множество, а определимое число должно задаваться конечной программой.
2. Мы могли бы перебирать все конечные программы и брать только те, которые задают определимые числа. Но тут тоже есть проблема - мы не можем за конечное время понять, зациклилась программа или просто долго считает очередную цифру.

Станислав Лем писал(а):

Как известно, изобретатель перцептрона Розенблатт выдвинул такой тезис - чем больше перцептрон, тем меньше он нуждается в обучении для распознавания геометрических фигур. Правило Розенблатта гласит: бесконечно большой перцептрон вовсе не нуждается в обучении - он все знает сразу. Донда пошел в противоположном направлении и открыл свой закон. То, что маленький компьютер может сделать, имея большую программу, большой компьютер сделает, имея малую, отсюда следует вывод, что бесконечно большая программа может действовать без всякого компьютера.

[Pulseofmalstrem]

tolstopuz
Беда в том, что возможно в явном виде указать пример определимого числа, которое при этом не является вычислимым. Например, https://en.wikipedia.org/wiki/Chaitin%27s_constant, то есть, вообще говоря, смысл понятия определимое число - это как раз расширение множества вычислимых чисел, которое содержит те числа, о которых мы в принципе можем говорить хоть в каком-то контексте.

[george66]

Это неопределимость истины по Тарскому. Назовём число определимым в языке ZF, если есть формула $\varphi(x)$, для которой истинно
$\exists !x(x\in \mathbb{R}\wedge \varphi(x))$
"существует единственное действительное число со свойством $\varphi$". Тогда множество определимых чисел нельзя задать формулой языка ZF (потому что иначе получался бы парадокс), это и есть неопределимость истины по Тарскому (множество истинных формул языка нельзя задать формулой того же языка, нужен более выразительный). Проще понять это для арифметики: если занумеровать её формулы натуральными числами, множество номеров истинных формул нельзя задать никакой формулой арифметики (для ZF всё точно так же).

[Pulseofmalstrem]

george66
Спасибо, о чем-то подобным я собственно и думал в контексте данной конструкции. Видимо общий вид теоремы можно доказать перейдя к парадоксальным подмножествам, применяя диагональную конструкцию подобному той, что используется при доказательстве неравномощности множества всех подмножеств и исходного множества.

[epros]

Полный и исчерпывающий ответ человеческим языком, который дал mihaild:

mihaild в сообщении #1418326 писал(а):

И да, получается, что в метатеории можно определить числа, которые нельзя определить в теории.

почему-то не был замечен.

[Someone]

(Pulseofmalstrem)

Pulseofmalstrem в сообщении #1418322 писал(а):

Новая антимония для теории множеств?

Антиномия.

А антимоний — это сурьма (химический элемент).