вычислить сумму

[daogiauvang]

Найти сумму :
$\frac{19}{93}+ \frac{19.18}{93.92} +\frac{19.18.17}{93.92.91}+....+\frac{19!}{93.92.91.....75}$

[Trotil]

Вам может помочь вот это соотношение:

$\sum _{n=0}^{b}{\frac { \left( a-n \right) !}{ \left( b-n \right) !}}={\frac { \left( a+1 \right) a!}{ \left( -b+a+1 \right) b!}}$

[Профессор Снэйп]

daogiauvang писал(а):

Найти сумму :
$\frac{19}{93}+ \frac{19.18}{93.92} +\frac{19.18.17}{93.92.91}+....+\frac{19!}{93.92.91.....75}$

А зачем Вы точки внизу ставите? Я, к примеру, далеко не сразу понял, что они означают умножение.

Надо так:

$$\frac{19}{93}+ \frac{19 \cdot 18}{93 \cdot 92} +\frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{93 \cdot 92 \cdot 91}+ \ldots +\frac{19!}{93 \cdot 92 \cdot 91\cdot \ldots \cdot 75}$$

[Батороев]

$$ \frac{a}{b} = \frac{a}{(b+a-1)} + \frac{a\cdot{(a-1)}}{(b+a-1)\cdot {(b+a-2)}}+ ...+ \frac{a!}{(b+a-1)\cdot{(b+a-2)}\cdot...\cdot{b}} = $$

$ = \frac{a}{b+a-1}(1+\frac{a-1}{b+a-2}(1+\frac{a-2}{b+a-3}(1+...+\frac{3}{b+2}(1+ \frac{2}{b+1}(1+\frac{1}{b})))...) $

Если, начиная с конца, приводить в скобках к общему знаменателю, то будем получать последовательный ряд натуральных чисел, деленных на $ b $. На каком натуральном остановимся, то это число и окажется в числителе дроби $ \frac {a}{b} $.

Следовательно:

$$\frac{19}{93}+ \frac{19 \cdot 18}{93 \cdot 92} +\frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{93 \cdot 92 \cdot 91}+ \ldots +\frac{19!}{93 \cdot 92 \cdot 91\cdot \ldots \cdot 75} = \frac {19}{75}$$