Процент атомов с энергией, большей средней. ФЛФ, з-ча 40-2.

[Uchitel'_istorii]

Условие английское и ответ:

PNG. писал(а):

40-2. In a gas at thermal equilibrium, what fraction of the molecules striking a surface have kinetic energies greater than a) average? b) three times the average?

Условие русское:

Цитата:

40. 2. Какая доля молекул газа (газ находится в тепловом равновесии), достигающих в единицу времени по- верхности сосуда, обладает кинетической энергией:
а) большей, чем средняя тепловая,
б) в 3 раза большей, чем средняя тепловая?

Средняя энергия дается соотношением (39.24):
$\left\langle\tfrac{1}{2}Mv^2\right\rangle = \tfrac{3}{2}kT.$

Используя уравнение (40.4):
$n_{> u} \propto e^{-\text{kinetic energy}/kT}$,
где $n_{> u}$ - количество молекул с $v_z>u$,—
я нахожу :
a) $\text{fraction} = e^{-\tfrac{3}{2}kT/kT} = e^{-\tfrac{3}{2}} = 0.223$
b) $\text{fraction} = e^{-\tfrac{9}{2}} = 0,011$

Но, судя по ответам , должно быть $e^{-1}$, $e^{-3}$.

Почему?
В решебнике они вообще полезли в дебри.

[se-sss]

В $40.4$ рассматривается распределение проекций скоростей вдоль одного выбранного направления.
А в задаче - по модулю в в произвольном.
$kinetic energy$ из $40.4$, как мне кажется, не слишком удачное обозначение для $\frac{mv^2}{2}$.

[Uchitel'_istorii]

Это понятно.
Формула (40.4) правильней записывается так:
$n_{_{v_z > u} }= n_{_{v_z>0}} e^\tfrac{-mu^2}{2kT}$ ,
$n_{v_z>0}$ — означает количество молекул с компонентами $v_x>0$, $v_y>0$, $v_z>u$ ,
$n_{v_z>0}$ — соответственно $v_x>0$, $v_y>0$, $v_z>0$ , и поэтому $n_{v_z>0}$ можно считать просто общим количеством молекул $n_{v>0}$.

Аналогичное распределение будет для двух других направлений $x$ , $y$.
Т.е. для произвольных компонент скорости вероятность будет произведением вероятностей:
$e^{\tfrac{-mv_x^2}{2kT}}e^{\tfrac{-mv_y^2}{2kT}}e^{\tfrac{-mv_z^2}{2kT}}$
- это вероятность встретить молекулу с компонентами, большими $(v_x , v_y , v_z)$,
или, иными словами, вероятность встретить молекулу с энергией $(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)\cdot \text{const}$,
потому как для напр. компонент больше $(a, b, c)$ и $(0, 0, \sqrt{a^2 + b^2 + c^2})$ вероятность одинакова.

[Munin]

Где вы учли условие

Uchitel'_istorii в сообщении #1417965 писал(а):

Цитата:

достигающих в единицу времени по- верхности сосуда

?

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Где вы учли условие

Распределение скоростей одинаково на всех высотах:

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_40.html#Ch40-S4 писал(а):

We know already that the distribution of velocities is the same, after the argument we made earlier about the temperature being constant all the way through the atmosphere. So, since the velocity distributions are the same, and it is just that there are more atoms lower down, clearly the number $n_{> 0}(h)$ passing with positive velocity at height $h$, and the number $n_{> 0}(0)$, passing with positive velocity at height $0$, are in the same ratio as the densities at the two heights, which is $e^{-mgh/kT}$. But $n_{> 0}(h) =n_{> u}(0)$, and therefore we find that
$\frac{n_{> u}(0)}{n_{> 0}(0)} = e^{-mgh/kT} = e^{-mu^2/2kT},$
since $\tfrac{1}{2}mu^2 = mgh$. Thus, in words, the number of molecules per unit area per second passing the height $0$ with a $z$-component of velocity greater than $u$ is $e^{-mu^2/2kT}$ times the total number that are passing through the plane with velocity greater than zero.

Относительно "в единицу времени", то Фейнман изначально выводил формулу (40.4) для количества молекул в единицу времени на единицу площади. Хотя это ничего не меняет, т.к. общее количество молекул также берется на единицу площади за ед.времени.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1417996 писал(а):

Хотя это ничего не меняет

Ошибаетесь. Меняет. Это даёт ещё один важный множитель, сдвигающий ответ.

[se-sss]

Получается, официальный ответ (из оригинальной версии) неверен.
Там ответ соответствуют просто распределению по энергиям.
(Правда, в формулировке задачи нет упоминания "в единицу времени", так что они все рано или поздно достигают стенки, и поэтому формально ответ тоже можно считать верным.)
Порылся у себя в тетрадках: вывод у меня длиннее, чем в российском решебнике, но соответствует ответу в нём.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

ещё один важный множитель, сдвигающий ответ

Там 2 ответа: $0.366$ и $0.050$,— которые сдвинуты по-разному относительно моих $0.223$ и $0.011$. Нужен множитель $2/3$ в экспоненте.

Фейнман в дальнейших рассуждениях умножает на скорость (формула 40.6):
$\int_u^\infty uf(u)\,du = \text{const}\cdot e^{-mu^2/2kT}.$
Т.е. переводит из количества молекул на ед. объема в количество, достигающее ед. площади за ед. времени., т.к.
$n f(u)\,du$ — число молекул в ед. объема со скоростью $(u , u+du)$,
$\tfrac{1}{2}n u f(u)\,du$ — число молекул со скоростью $(u , u+du)$, достигающих поверхности с одной стороны (отсюда $1/2$) за ед. времени.

Количество молекул , проходящее в ед. времени через единицу площади , $n_t$ выражается через число молекул в ед. объема $ n$ следующим образом:
$n_t_{,v_z > u} = n \int_u^\infty v_zf(v_z)\,dv_z = -n\sqrt{\tfrac{kT}{2\pi m}} e^{\tfrac{-mv_z^2}{2kT}} \Big | _{u}^{\infty}$ $=n\sqrt{\tfrac{kT}{2\pi m}} e^{\tfrac{-mu^2}{2kT}} $,
$n_t_{,v_z > 0} = n \int_0^\infty v_zf(v_z)\,dv_z $ $=n\sqrt{\tfrac{kT}{2\pi m}} $ .
Если разделить 2 последних уравнения, то получим то же, что у Фейнмана $e^{\tfrac{-mu^2}{2kT}}$. Причем $\tfrac{mu^2}{2}$ — минимально возможная энергия этих молекул. Получается, распределение по двум другим осям не имеет значения.

-- 29.09.2019, 14:59 --

se-sss в сообщении #1418081 писал(а):

Там ответ соответствуют просто распределению по энергиям.

И как его получить?

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Причем $\tfrac{mu^2}{2}$ — минимально возможная энергия этих молекул. Получается, распределение по двум другим осям не имеет значения.

Тут ошибка. Среди молекул с $v_z < u$ есть молекулы с энергией $>\tfrac{3}{2}kT$. Действительно нужен модуль скорости. Фейнман дал формулу (40.9) :
$f(v_x,v_y,v_z)&\;dv_x dv_y dv_z \propto e^{-mv_x^2/2kT}\!\!\cdot e^{-mv_y^2/2kT}\!\!\cdot e^{-mv_z^2/2kT}\,dv_x dv_y dv_z.$
Ее надо переписать:
$f(v_x,v_y,v_z)&\;dv_x dv_y dv_z = f(v_x)f(v_y)f(v_z) 4\pi v^2dv = C^3 e^{-mv^2/2kT} 4\pi v^2dv$
$C = \sqrt{m/2\pi kT}$
Интегрирование дает $0,392$ и $0,029$, но здесь — доля всех молекул, а не попадающих в дно.

В решении МИФИ png происходит неочевидный переход через среднюю скорость. Если бы количество частиц, достигающих поверхности в ед.времени, не было пропорционально средней арифметической скорости , то можно было просто на нее умножить и поделить.