Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.

[Munin]

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

Определение и вычисление -- вещи разные. Для определения важна мотивация, для вычисления -- нет.

Я бы сказал, наоборот. Если нет мотивации, то нечего и незачем считать. А если есть мотивация - то можно вычислить даже то, у чего нет определения (чем давно занимаются физики).

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

Определение через ряд не мотивировано ничем.

Рядом Тейлора (МакЛорена).

А вот чем мотивировано определение через 2-й замечательный предел?

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

А вот, скажем, определение $e$ как такого основания, при котором производная показательной функции равна ей самой -- вполне идейно. Правда, в этом случае возникает проблема: мы знаем, что такое основание существует (и единственно), однако понятия не имеем, чему оно равно хотя бы примерно. Так что всё равно придётся переходить от $\frac{e^x-1}x\to1$ к $(1+\frac1n)^n\to e$. Ну так тогда проще именно с последнего и начать.

То есть, проще мотивацию выкинуть, и определять неизвестно что через с неба рухнувший предел? Мило.

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

Исторически он рухнул как раз не с неба, а из вполне себе коммерческих соображений (там сложные проценты и всё такое).

Через сложные проценты получается только другой предел:

$$\lim_{\substack{n\to+\infty\\\alpha\to 0}}\Bigl(1+\alpha\Bigr)^n$$

alcoholist в сообщении #1417900 писал(а):

ну там же $e$ в ответе будет))

Доктор, а у меня $e^2$ получается (и ещё одна вторая, которую забыли стереть).

ewert в сообщении #1417903 писал(а):

Всё-таки при слове "функция" ассоциация возникает в первую очередь с кривулинками, а не с россыпями отдельных точек.

Вы как-то вольготно мечетесь между строгими определениями и свободными ассоциациями.

[ewert]

(Оффтоп)

oleg.k в сообщении #1417908 писал(а):

Ну где-то есть, а где-то и нету,

Но нам-то нужно, чтобы он был везде. А с какой стати?..

oleg.k в сообщении #1417908 писал(а):

Обратное отображение слишком хорошо, чтобы не сказать о нем сразу после разговора о произвольном отображении.

Сказать можно всё -- у нас свободная страна. Но потом неизбежно возникает вопрос о существовании.

[Munin]

ewert в сообщении #1417906 писал(а):

А теперь вытащите из Вашей функции квадратный корень.

Да запросто. Возьмём функцию $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N},$ $n\mapsto n^2.$ Обратной к ней будет функция, определённая на квадратах натуральных чисел, дающая понятно что.

Если очень хочется извлечь корень из двух (что вообще-то незаконно), то пожалуйста: вводим символ $\sqrt{2},$ со следующими правилами: сложение и умножение на натуральные числа происходят так же, как будто это натуральное число (неизвестной величины), а $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.$ Дальше можно показывать, что $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ - кольцо и поле.

ewert в сообщении #1417909 писал(а):

Кстати, Ваше "школьное решение" никак формально не связано с уравнением. Так что решением его назвать трудно.

Ну как это? Подставляем в уравнение. Проверяем - подходит. Значит, решение :-)

ewert в сообщении #1417909 писал(а):

Между прочим, функции Дирихле и вовсе нет. Раз нет $\mathbb R$.

Можно определить функцию Дирихле на $\mathbb{Q}[\sqrt{2}].$

ewert в сообщении #1417909 писал(а):

Только если он нарисован на прозрачной плёнке.

Достаточно способные могут и мысленно вообразить. Или сообразить воспользоваться зеркалом.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1417911 писал(а):

Доктор, а у меня $e^2$ получается

Разве в $e^2$ нету $e$? Да вы батенька меня удивляете))

-- Сб сен 28, 2019 13:58:10 --

ewert в сообщении #1417906 писал(а):

А теперь вытащите из Вашей функции квадратный корень.

я про обратные говорил, не про корень

[Munin]

alcoholist в сообщении #1417915 писал(а):

Разве в $e^2$ нету $e$?

А, в этом смысле... Ну, тогда в любом числе есть другое число, вообще говоря. Но с символическо-алгебраической точки зрения, вы правы.

[ewert]

Munin в сообщении #1417911 писал(а):

Через сложные проценты получается только другой предел:

$$\lim_{\substack{n\to+\infty}\\\alpha\to 0}\Bigl(1+\alpha\Bigr)^n$$

Получается, да?

Munin в сообщении #1417911 писал(а):

То есть, проще мотивацию выкинуть, и определять неизвестно что через с неба рухнувший предел? Мило.

Это -- самый короткий путь.

Если же начинать с мотивации, то об одной проблеме я уже сказал. Но есть и другая: в этом случае придётся отдельно доказывать дифференцируемость показательной функции. Что не так просто (хоть и не безумно сложно). В сумме получится существенно длиннее.

Munin в сообщении #1417911 писал(а):

Вы как-то вольготно мечетесь между строгими определениями и свободными ассоциациями.

Я ими просто немного владею. Что подразумевает и умение жёстко их различать.

Munin в сообщении #1417911 писал(а):

Рядом Тейлора (МакЛорена).

До него ещё слишком далеко. До безумия.

oleg.k в сообщении #1417910 писал(а):

Про критерий Коши скину ссылку на мое доказательство без последовательностей post1409252.html#p1409252

Начнём с того, что это безумно сложно (от значков в глазах так и рябит). Главное же, что вовсе не это нужно. Принципиально важна (в т.ч. и вычислительно) сходимость именно фундаментальных последовательностей. Причём последовательностей в самом широком смысле, вовсе не только числовых.

-- Сб сен 28, 2019 15:12:45 --

Munin в сообщении #1417914 писал(а):

пожалуйста: вводим символ $\sqrt{2},$ со следующими правилами: сложение и умножение на натуральные числа происходят так же, как будто это натуральное число (неизвестной величины), а $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.$ Дальше можно показывать, что $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ - кольцо и поле.

Умучаетесь все корни вводить. Кроме того, это совершенно не соответствует вычислительной практике.

Munin в сообщении #1417914 писал(а):

Подставляем в уравнение. Проверяем - подходит. Значит, решение

Мы не можем подставить -- там буковки разные. И согласовать их никак без натурального логарифма.

alcoholist в сообщении #1417915 писал(а):

я про обратные говорил, не про корень

А я именно про корень. И про логарифмы. И про всякие арктангенсы.

Которых до $\mathbb R$ не было. А потом вдруг раз -- и появились. Причем все сразу, одновременно (не считая того, что для определения показательной функции корни всё-таки нужны).

[oleg.k]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1417913 писал(а):

Но потом неизбежно возникает вопрос о существовании.

Если он возникает, то значит разговор идет явно не в рамках наивной теории множеств и функции, как правила. Но даже, если мы рассуждаем строго, то я никаких проблем не вижу. Даны два множества: область определения и область значений. Дана функция - некоторое отношение (аксиома пары у нас есть, декартово произведение есть, отношение мы до этого определили). Строим обратное отношение и получаем обратную функцию. Все честно.

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

А я именно про корень. И про логарифмы. И про всякие арктангенсы.

Которых до $\mathbb R$ не было.

А почему корней до $\mathbb{R}$ не было? Идея корня имхо не привязана к $\mathbb{R}$. Пусть есть некоторая алгебраическая структура $(A, \cdot)$ с умножением. Естественно задать вопрос: найдем ли мы (хотя бы для некоторых) элементов $a \in A$ такой элемент $b \in A$, что $b \cdot b = a$. Для $\mathbb{R}$ как я уже писал, на мой взгляд, естественнее всего рассматривать именно "арифметические" корни и взять запрет на рассмотрение отрицательных подкоренных выражений (этого достаточно и все всегда будет существовать и быть единственным).

ewert в сообщении #1417913 писал(а):

Но нам-то нужно, чтобы он был везде. А с какой стати?..

Вот если мы хотим, чтобы арифметические корни существовали и были единственными, нам $\mathbb{Q}$ мало и нужно $\mathbb{R}$. Но ведь кому-нибудь может и $\mathbb{R}$ быть мало. Кто-нибудь может сказать: где корень из отрицательных чисел? И так можно прийти к $\mathbb{C}$. На мой взгляд, идея корней гораздо шире, чем то поле, в котором мы живем.

[gris]

В примере про сложные проценты, вероятно, имеется в виду непрерывное начисление постоянного годового процента

[ewert]

oleg.k в сообщении #1417923 писал(а):

Если он возникает, то значит разговор идет явно не в рамках наивной теории множеств

Наивной-наивной, не сомневайтесь. Наивность теории множеств никак не связана с идеологией пополнения и с непрерывностью.

oleg.k в сообщении #1417923 писал(а):

А почему корней до $\mathbb{R}$ не было? Идея корня имхо не привязана к $\mathbb{R}$. Пусть есть некоторая алгебраическая структура $(A, \cdot)$ с умножением.

Пусть есть, не жалко. Только

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

это совершенно не соответствует вычислительной практике.

По поводу тамошнего доказательства критерия Коши: зачем всё-таки столько букв? В одну сторону доказательство просто банально следует из определения предела по Коши. По любому $\varepsilon>0$ выберем $\delta_0$ так, чтобы из $x,y\in\dot{V}_{\delta_0}(a) \cap X$ следовало $|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}3$ и $|f(y)-A|<\frac{\varepsilon}3$. Тогда для всех таких $x,y$ будет $|f(x)-f(y)|\leqslant|f(x)-A|+|f(x)-A|<\frac{2\varepsilon}3$ и, следовательно, $\omega (f; [\dot{V}_{\delta_0}(a) \cap X])\leqslant\frac{2\varepsilon}3<\varepsilon$. Тем более будет $\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])<\varepsilon$ для любого $\delta<\delta_0$, а это в точности означает, что $\lim\limits_{\delta \to 0}^{}\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])=0$.

А вот в обратную сторону проще именно через Гейне. Проще и, главное, куда прозрачнее. Берём любую последовательность точек $x_n\in\dot{V}_{\delta_0}(a) \cap X$, сходящуюся к точке $a$. По любому $\varepsilon>0$ выберем сначала $\delta>0$ так, чтобы было $\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])<\varepsilon$ и затем $N$ так, чтобы из $n,m>N$ следовало $x_n,x_m\in\dot{V}_{\delta_0}(a)$. Тогда для данного $\varepsilon$ при всех $n,m>N$ будет $|f(x_n)-f(x_m)|\leqslant\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])<\varepsilon$. Т.е. последовательность чисел $f(x_n)$ фундаментальна и, следовательно, сходится к какому-то $A$. Причём это утверждение верно для любой последовательности $x_n\to a$ -- а значит, предел $A$ один и тот же для всех таких последовательностей (если бы для каких-то двух из них пределы различались, то, чередуя их члены, мы получили бы расходящуюся последовательность значений функции). Таким образом, $A$ -- это предел функции по Гейне.

[Munin]

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

Получается, да?

Не в этом дело. А в том, что этот предел неприятней 2-го замечательного: в нём надо совместно переходить к пределу по двум переменным.

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

Это -- самый короткий путь.

О чём и речь: самый короткий - не значит, самый лучший. Без мотивации, например, очень плохо вообще материал усваивается. Потому что "зачем всё это?".

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

Но есть и другая: в этом случае придётся отдельно доказывать дифференцируемость показательной функции.

А как можно её доказать "не отдельно"?

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

Я ими просто немного владею.

Да владейте на здоровье. Я про то, что ваша аргументация непоследовательна.

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

До него ещё слишком далеко. До безумия.

До его формального введения. А так-то он может быть известен ещё со школы. Вы опять путаете строгое введение и размахивание руками.

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

Умучаетесь все корни вводить.

Да я и не буду :-) Я просто опроверг ваш тезис, что квадратного корня из двух не существует.

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

Которых до $\mathbb R$ не было. А потом вдруг раз -- и появились.

Вы меня обманываете, дяденька. Появились они в момент появления геометрии и единичной окружности. (Можно и логарифмы через спираль ввести. И даже $e$ - не зря там касательная под углом $\pi/4$ проходит.)

gris в сообщении #1417924 писал(а):

В примере про сложные проценты, вероятно, имеется в виду непрерывное начисление постоянного годового процента :?:

Разумеется. И в этой задаче есть свободный параметр: этот самый годовой процент.

-- 28.09.2019 15:28:40 --

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

Кроме того, это совершенно не соответствует вычислительной практике.

К слову о вычислительной практике: в компьютере ведь нет никакого $\mathbb{R}.$ И ни полноты, ни плотности, ни непрерывности. А есть там формулы последовательных приближений, как раз типа той, которую вам для $e$ показали (и от которой вы отмахнулись по другой причине). И для корней тоже.

Нехорошо так уж изворачиваться.

[gris]

Munin в сообщении #1417933 писал(а):

И в этой задаче есть свободный параметр: этот самый годовой процент.

тогда формула получается $\lim\limits_{n\to\infty} \left (1+\dfrac{\alpha}n\right )^n$

[Munin]

Показатель степени забыли.

[ewert]

Munin в сообщении #1417933 писал(а):

А в том, что этот предел неприятней 2-го замечательного: в нём надо совместно переходить к пределу по двум переменным.

А это ничего, что его не существует?..

Munin в сообщении #1417933 писал(а):

А как можно её доказать "не отдельно"?

Из $(1+\frac1n)^n\to e$ она следует довольно легко:

$\Rightarrow\ (1+\frac1x)^x\to e\ \Rightarrow (1+t)^{\frac1t}\to e\ \Rightarrow\ \frac{\ln(1+t)}t\to1\ \Rightarrow\ \frac{e^x-1}x\to1.$

Цепочка вроде и длинная, но дело в том, что каждое из её звеньев представляет самостоятельную ценность. А из последнего дифференцируемость следует уже мгновенно.

Если же доказывать дифференцируемость в лоб, то придётся не самым очевидным образом повозиться с выпуклостью показательной функции. Варианты же 2-го замечательного предела придётся выводить в любом случае.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1417919 писал(а):

А, в этом смысле... Ну, тогда в любом числе есть другое число, вообще говоря

нет, я имел ввиду по существу, не как $\right(e\cdot e^{-1}\right)$... проиллюстрировал раскрытие $(1+\frac{1}{\infty})^\infty$

[oleg.k]

ewert в сообщении #1417932 писал(а):

Наивной-наивной, не сомневайтесь. Наивность теории множеств никак не связана с идеологией пополнения и с непрерывностью.

Не спорю. Александров П.С. весь учебный кусок топологии рассказывает, основываясь на наивном подходе к множествам. Я не к этому, а к тому, что я не вижу, где

ewert в сообщении #1417913 писал(а):

возникает вопрос о существовании

обратной функции при таком подходе. Есть 2 непустых множества $X$ и $Y$. Есть "правило" $f$, по которому каждому элементу множества $X$ ставим в соответствие элемент из $Y$ (ну или с помощью отношения, как у Зорича, разница не принципиальная). $f$ инъективная. Взяли все стрелочки и развернули их. Получили функцию $f^{-1}$. Все. $f(X)$ непусто же.


По поводу

ewert в сообщении #1417920 писал(а):

это совершенно не соответствует вычислительной практике.

согласен. Теоретически можно вообще $\mathbb{R}$ не строить. Но никому от этого легче не станет (а вот труднее станет всем).

ewert в сообщении #1417932 писал(а):

В одну сторону доказательство просто банально следует из определения предела по Коши.

Дак у меня тоже самое, просто вместо $\varepsilon$ у меня $2\varepsilon$.

ewert в сообщении #1417932 писал(а):

Тем более будет $\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])<\varepsilon$ для любого $\delta<\delta_0$, а это в точности означает, что $\lim\limits_{\delta \to 0}^{}\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])=0$.

Это доказать надо, что я и сделал во втором пункте необходимости (с помощью леммы).

ewert в сообщении #1417932 писал(а):

А вот в обратную сторону проще именно через Гейне. Проще и, главное, куда прозрачнее.

У меня цель была вообще не прикасаться к Гейне и последовательностям, чтобы теоремы о последовательностях стали частным случаем теорем для функций. А у Вас

ewert в сообщении #1417932 писал(а):

Т.е. последовательность чисел $f(x_n)$ фундаментальна и, следовательно, сходится к какому-то $A$.

Говорю, у меня обостренная потребность в единообразии. Не воспринимаю я теорию предела функций через последовательности, только наоборот. Я конечно же проводил это доказательство через Гейне, но я тогда в августе скорее не пределы изучал, а красивую картинку теории пределов (в одномерном анализе) у себя в голове строил (и вроде построил).