производные и предел рекуррентной последовательности

[beroal]

Простая задача на нахождение предела.

Цитата:

$$a_{n+1} = \frac{12}{8-a_n}$$

с $a_1=5$
Найдите вещественнозначную функцию $f(x)$, задающую эту последовательность, то есть $a_{n+1} = f(a_n)$. Исследуя функцию $f(x)$ и её производные, докажите, что последовательность $(a_n)$ ограниченна и монотонна. Объясните, почему предел $L = \lim_{n\to \infty} a_n$ должен существовать.

Я, конечно, могу найти предел, он равен $2$, но я не понимаю, какой смысл имеет $f(x)$ и чем интересны её производные. Я могу доказать, что последовательность нестрого убывает на интервале $[2, 6]$, просто исследовав разницу

$$\frac{12}{8-b} - b.$$

Что имелось в виду в подсказке?

[demolishka]

beroal в сообщении #1417704 писал(а):

какой смысл имеет $f(x)$

Пределом (если он есть) могут быть только ее неподвижные точки.

beroal в сообщении #1417704 писал(а):

чем интересны её производные.

Наверное здесь через производную предлагается понять картинку между двух неподвижных точек $2$ и $6$.

[beroal]

Скорее, надо исследовать $x\mapsto f(x)-x$. Её нули есть неподвижные точки $f$.

[ewert]

Для монотонности (кстати, строгой) и ограниченности нужно только одно -- что функция возрастает и лежит на этом участке ниже биссектрисы. Да, это, конечно, формально следует из того, что производная положительна и меньше единицы в двойке. Но вот какой смысл формально доказывать то, что и безо всяких производных очевидно -- непонятно. И, кстати, вопрос

beroal в сообщении #1417704 писал(а):

Объясните, почему предел $L = \lim_{n\to \infty} a_n$ должен существовать.

тоже непонятен. Ибо наиболее адекватный ответ на него -- "потому".

-- Пт сен 27, 2019 15:46:24 --

beroal в сообщении #1417709 писал(а):

Скорее, надо исследовать $x\mapsto f(x)-x$.

Не, не надо. После этого перехода монотонности становится довольно-таки неочевидной. А запрашивалась именно монотонность.

[beroal]

ewert в сообщении #1417710 писал(а):

beroal в сообщении #1417704

писал(а):
Объясните, почему предел $L = \lim_{n\to \infty} a_n$ должен существовать. тоже непонятен. Ибо наиболее адекватный ответ на него -- "потому".

Согласно теореме такой-то. Упражнение всё-таки элементарное, поэтому подобные вопросы не выглядят странно.

ewert в сообщении #1417710 писал(а):

beroal в сообщении #1417709

писал(а):
Скорее, надо исследовать $x\mapsto f(x)-x$.
Не, не надо. После этого перехода монотонности становится довольно-таки неочевидной.

Я рассуждал так. Если производная этой функции нестрого отрицательна на $[0, 1]$, то $a_{x+1}\leq a_x$.

В общем, иногда не понятно, чего эти преподаватели хотят.

[ewert]

beroal в сообщении #1417729 писал(а):

Согласно теореме такой-то.

Ну нелепый же вопрос. Сначала предлагают доказать монотонность и ограниченность, и сразу же потом в качестве объяснения предлагают сказать "потому что монотонна и ограниченна". Нелепо.

beroal в сообщении #1417729 писал(а):

Если производная этой функции нестрого отрицательна на $[0, 1]$, то $a_{x+1}\leq a_x$.

Но это просто неверно. Если производная чересчур уж отрицательна, то после первой итерации нас выкинет бог знает куда. Да, сначала влево; но потом-то может происходить уже что угодно.

[beroal]

ewert в сообщении #1417732 писал(а):

beroal в сообщении #1417729

писал(а):
Если производная этой функции нестрого отрицательна на $[0, 1]$, то $a_{x+1}\leq a_x$.
Но это просто неверно. Если производная чересчур уж отрицательна, то после первой итерации нас выкинет бог знает куда. Да, сначала влево; но потом-то может происходить уже что угодно.

Строго говоря, то, что я написал, верно. Просто ещё надо доказать, что последовательность не станет меньше $2$. Да, для этого нужно дополнительное рассуждение, которое я никак не могу связать с производными.

[ewert]

beroal в сообщении #1417755 писал(а):

Строго говоря, то, что я написал, верно.

Строго говоря, это выглядит бессмысленно -- после перехода к корням разности рекуррентность вообще исчезает.

beroal в сообщении #1417755 писал(а):

ещё надо доказать, что последовательность не станет меньше $2$. Да, для этого нужно дополнительное рассуждение, которое я никак не могу связать с производными.

А оно никак с производными и не связано. Вообще к этой задачке производные притянуты откровенно за уши.