Найти инвариантные множители матрицы.

[Unsleep]

Найти инвариантные множители матрицы.

Честно скажу, вот это даже не знаю как решать, пролазил кучу сайтов и везде только одна теория и ничего на примерах. Можете хотя бы пример какой-нибудь похожий дадите.

$ \left (\begin{array}{cc}h(h+1) & 0 & 0 & h^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right \left \begin{array}{cc}0 & 0 & 0 & 0 & (h+1)^2 & 0 & 0 & h(h-1) \end{array} \right)$

[Бодигрим]

Обозначим $D_j(h)$ - НОД всех миноров $j$-го порядка и положим $D_0(h)\equiv1$.

Для данной матрицы есть всего четыре ненулевых минора первого порядка: $h(h+1)$, $h^2$, $(h+1)^2$ и $h(h-1)$. Их НОД - 1 (понятно почему?). Т. о. $D_1(h)=1$ и инвариантный многочлен $i_4(h)=D_1(h)/D_0(h)=1$.

Миноров второго порядка шесть: $h(h+1)\cdot h^2$, $h(h+1)\cdot (h+1)^2$, $h(h+1)\cdot h(h-1)$, $h^2\cdot(h+1)^2$, $h^2\cdot h(h-1)$ и $(h+1)^2\cdot h(h-1)$. Их НОД $D_2(h)=h$ и инвариантный многочлен $i_3(h)=D_2(h)/D_1(h)=h$.

Вам осталось найти оставшиеся два инвариантных многочлена. Технология ясна?

[Unsleep]

Бодигрим писал(а):

Обозначим $D_j(h)$ - НОД всех миноров $j$-го порядка и положим $D_0(h)\equiv1$.

Для данной матрицы есть всего четыре ненулевых минора первого порядка: $h(h+1)$, $h^2$, $(h+1)^2$ и $h(h-1)$. Их НОД - 1 (понятно почему?). Т. о. $D_1(h)=1$ и инвариантный многочлен $i_4(h)=D_1(h)/D_0(h)=1$.

Миноров второго порядка шесть: $h(h+1)\cdot h^2$, $h(h+1)\cdot (h+1)^2$, $h(h+1)\cdot h(h-1)$, $h^2\cdot(h+1)^2$, $h^2\cdot h(h-1)$ и $(h+1)^2\cdot h(h-1)$. Их НОД $D_2(h)=h$ и инвариантный многочлен $i_3(h)=D_2(h)/D_1(h)=h$.

Вам осталось найти оставшиеся два инвариантных многочлена. Технология ясна?

В принципе да, но какие именно получатся миноры третьего и четвертого порядка?

[Бодигрим]

Все, какие только сможете образовать. Ненулевых среди них всего ничего. Всего будет четыре ненулевых минора третьего порядка и один - четвертого (это определитель всей матрицы). Попробуйте их перечислить.

[lofar]

Ваша матрица изначально диагональная, ее канонический вид (инвариантные множители) можно найти проще. Рассмотрите набор полиномов, стоящих на диагонали $\{h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)\}$. Выберите из них любые два $p$ и $q$ и замените их на HOД$(p,q)$ и HOК$(p,q)$. Продолжая таким образом, получите 4 полинома $i_1(h), i_2(h),i_3(h),i_4(h)$, такие, что $i_1|i_2|i_3|i_4$. Это и будут инвариантные множители.

[Unsleep]

Бодигрим писал(а):

Все, какие только сможете образовать. Ненулевых среди них всего ничего. Всего будет четыре ненулевых минора третьего порядка и один - четвертого (это определитель всей матрицы). Попробуйте их перечислить.

Миноры третьего порядка следущие:

$h^8+2h^7-2h^5-h^4 h^5-2h^4-+h^3 h^6+2h^5-2h^4-h^3+2h^2+h h^8-3h^6-h^5+2h^4+h^3 $


Минор четвертого порядка:
h^8-2h^6+h^4

Что дальше? Какие получатся НОД? У меня посчитать не получилось.

lofar писал(а):

Ваша матрица изначально диагональная, ее канонический вид (инвариантные множители) можно найти проще. Рассмотрите набор полиномов, стоящих на диагонали $\{h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)\}$. Выберите из них любые два $p$ и $q$ и замените их на HOД$(p,q)$ и HOК$(p,q)$. Продолжая таким образом, получите 4 полинома $i_1(h), i_2(h),i_3(h),i_4(h)$, такие, что $i_1|i_2|i_3|i_4$. Это и будут инвариантные множители.

А что значит продолжая таким образом? И как вообще получит можно полиномы?

[Бодигрим]

1. Вы зря раскрыли скобки в минорах. Лучше было бы оставить их в виде произведений одночленов. Вы явно ошиблись при расчетах: степени ненулевых элементов матрицы равны 2, так что миноры третьего порядка должны иметь степени не выше 6. А у вас откуда-то нарисовались $h^8+2h^7-2h^5-h^4$ и $h^8-3h^6-h^5+2h^4+h^3$. Распишите ваши вычисления подробно.

2. НОД многочленов определяется так же, как и НОД целых чисел (а все потому, что и то, и то - евклидовы кольца). Для двух многочленов $f$ и $g$ назовем многочлен $h$ со старшим коэффициентом, равным 1, их НОДом, если любой многочлен $k$, делящий одновременно и $f$, и $g$, делит и $h$. Находится НОД при помощи алгоритма Евклида, применяемого к многочленам. Как действует алгоритм Евклида знаете?

Unsleep в сообщении #141623 писал(а):

А что значит продолжая таким образом?

Пока применение этого шага не перестанет изменять матрицу, насколько я понял.

Unsleep в сообщении #141623 писал(а):

И как вообще получит можно полиномы?

Не понял вопроса. Полиномы - это то же, что и многочлены.

[lofar]

Сделаю пару шагов.
I. $h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)$. Берем первые два полинома и заминяем их на НОД и НОК (вторые 2 оставляем без изменеия). Получим систему
II. $h, h^2(h+1), (h+1)^2, h(h-1)$. Теперь ту же процедуру применим к 3-му и 4-му полиномам.
III. $h, h^2(h+1), 1, h(h-1)(h+1)^2$. До ответа осталось совсем немного.

[Unsleep]

lofar писал(а):

Сделаю пару шагов.
I. $h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)$. Берем первые два полинома и заминяем их на НОД и НОК (вторые 2 оставляем без изменеия). Получим систему
II. $h, h^2(h+1), (h+1)^2, h(h-1)$. Теперь ту же процедуру применим к 3-му и 4-му полиномам.
III. $h, h^2(h+1), 1, h(h-1)(h+1)^2$. До ответа осталось совсем немного.

Спасибо, в принципе понял, в третьем шаге ту же саму процедуру делаем к оставшимся полиномам? )

[Unsleep]

Уважаемый, lofar, если я вас правильно понял то дальше я снова выбираю p и q и ищу для них НОК и НОД (в частности это 2 и 4 полиномы). 1 и 3 полиномы мне уже известны.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Ух, ну всё вроде бы, подсчитаны инвариантные множители. Перечисляю их:
h, h+1, h, 1

Заранее спасибо всем кто помог, вечером еще попробую пересчитать.

[Бодигрим]

Произведение инвариантных множителей должно было бы дать определитель вашей матрицы:

$$i_4\cdot i_3\cdot i_2\cdot i_1 = {D_1\over D_0}\cdot{D_2\over D_1}\cdot{D_3\over D_2}\cdot{D_4\over D_3} = D_4/D_0 = D_4.$$

У вас почему-то получилось иначе. Распишите свои действия.

У меня получилось $1,h,h(h+1),h^2(h+1)^2(h-1)$.