2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти инвариантные множители матрицы.
Сообщение27.08.2008, 16:04 


27/08/08
22
Найти инвариантные множители матрицы.

Честно скажу, вот это даже не знаю как решать, пролазил кучу сайтов и везде только одна теория и ничего на примерах. Можете хотя бы пример какой-нибудь похожий дадите.

$ 
\left (\begin{array}{cc}h(h+1) & 0 & 0 & h^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
\end{array} \right \left \begin{array}{cc}0 & 0 & 0 & 0 & (h+1)^2 & 0 & 0 & h(h-1) \end{array} \right)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2008, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Обозначим $D_j(h)$ - НОД всех миноров $j$-го порядка и положим $D_0(h)\equiv1$.

Для данной матрицы есть всего четыре ненулевых минора первого порядка: $h(h+1)$, $h^2$, $(h+1)^2$ и $h(h-1)$. Их НОД - 1 (понятно почему?). Т. о. $D_1(h)=1$ и инвариантный многочлен $i_4(h)=D_1(h)/D_0(h)=1$.

Миноров второго порядка шесть: $h(h+1)\cdot h^2$, $h(h+1)\cdot (h+1)^2$, $h(h+1)\cdot h(h-1)$, $h^2\cdot(h+1)^2$, $h^2\cdot h(h-1)$ и $(h+1)^2\cdot h(h-1)$. Их НОД $D_2(h)=h$ и инвариантный многочлен $i_3(h)=D_2(h)/D_1(h)=h$.

Вам осталось найти оставшиеся два инвариантных многочлена. Технология ясна?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2008, 21:25 


27/08/08
22
Бодигрим писал(а):
Обозначим $D_j(h)$ - НОД всех миноров $j$-го порядка и положим $D_0(h)\equiv1$.

Для данной матрицы есть всего четыре ненулевых минора первого порядка: $h(h+1)$, $h^2$, $(h+1)^2$ и $h(h-1)$. Их НОД - 1 (понятно почему?). Т. о. $D_1(h)=1$ и инвариантный многочлен $i_4(h)=D_1(h)/D_0(h)=1$.

Миноров второго порядка шесть: $h(h+1)\cdot h^2$, $h(h+1)\cdot (h+1)^2$, $h(h+1)\cdot h(h-1)$, $h^2\cdot(h+1)^2$, $h^2\cdot h(h-1)$ и $(h+1)^2\cdot h(h-1)$. Их НОД $D_2(h)=h$ и инвариантный многочлен $i_3(h)=D_2(h)/D_1(h)=h$.

Вам осталось найти оставшиеся два инвариантных многочлена. Технология ясна?


В принципе да, но какие именно получатся миноры третьего и четвертого порядка? :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2008, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Все, какие только сможете образовать. Ненулевых среди них всего ничего. Всего будет четыре ненулевых минора третьего порядка и один - четвертого (это определитель всей матрицы). Попробуйте их перечислить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2008, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Ваша матрица изначально диагональная, ее канонический вид (инвариантные множители) можно найти проще. Рассмотрите набор полиномов, стоящих на диагонали $\{h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)\}$. Выберите из них любые два $p$ и $q$ и замените их на HOД$(p,q)$ и HOК$(p,q)$. Продолжая таким образом, получите 4 полинома $i_1(h), i_2(h),i_3(h),i_4(h)$, такие, что $i_1|i_2|i_3|i_4$. Это и будут инвариантные множители.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2008, 12:58 


27/08/08
22
Бодигрим писал(а):
Все, какие только сможете образовать. Ненулевых среди них всего ничего. Всего будет четыре ненулевых минора третьего порядка и один - четвертого (это определитель всей матрицы). Попробуйте их перечислить.


Миноры третьего порядка следущие:

$h^8+2h^7-2h^5-h^4

h^5-2h^4-+h^3

h^6+2h^5-2h^4-h^3+2h^2+h

h^8-3h^6-h^5+2h^4+h^3
$


Минор четвертого порядка:
h^8-2h^6+h^4

Что дальше? Какие получатся НОД? У меня посчитать не получилось.

lofar писал(а):
Ваша матрица изначально диагональная, ее канонический вид (инвариантные множители) можно найти проще. Рассмотрите набор полиномов, стоящих на диагонали $\{h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)\}$. Выберите из них любые два $p$ и $q$ и замените их на HOД$(p,q)$ и HOК$(p,q)$. Продолжая таким образом, получите 4 полинома $i_1(h), i_2(h),i_3(h),i_4(h)$, такие, что $i_1|i_2|i_3|i_4$. Это и будут инвариантные множители.


А что значит продолжая таким образом? И как вообще получит можно полиномы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2008, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
1. Вы зря раскрыли скобки в минорах. Лучше было бы оставить их в виде произведений одночленов. Вы явно ошиблись при расчетах: степени ненулевых элементов матрицы равны 2, так что миноры третьего порядка должны иметь степени не выше 6. А у вас откуда-то нарисовались $h^8+2h^7-2h^5-h^4$ и $h^8-3h^6-h^5+2h^4+h^3$. Распишите ваши вычисления подробно.

2. НОД многочленов определяется так же, как и НОД целых чисел (а все потому, что и то, и то - евклидовы кольца). Для двух многочленов $f$ и $g$ назовем многочлен $h$ со старшим коэффициентом, равным 1, их НОДом, если любой многочлен $k$, делящий одновременно и $f$, и $g$, делит и $h$. Находится НОД при помощи алгоритма Евклида, применяемого к многочленам. Как действует алгоритм Евклида знаете?

Unsleep в сообщении #141623 писал(а):
А что значит продолжая таким образом?

Пока применение этого шага не перестанет изменять матрицу, насколько я понял.
Unsleep в сообщении #141623 писал(а):
И как вообще получит можно полиномы?

Не понял вопроса. Полиномы - это то же, что и многочлены.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2008, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Сделаю пару шагов.
I. $h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)$. Берем первые два полинома и заминяем их на НОД и НОК (вторые 2 оставляем без изменеия). Получим систему
II. $h, h^2(h+1), (h+1)^2, h(h-1)$. Теперь ту же процедуру применим к 3-му и 4-му полиномам.
III. $h, h^2(h+1), 1, h(h-1)(h+1)^2$. До ответа осталось совсем немного.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 04:00 


27/08/08
22
lofar писал(а):
Сделаю пару шагов.
I. $h(h+1), h^2, (h+1)^2, h(h-1)$. Берем первые два полинома и заминяем их на НОД и НОК (вторые 2 оставляем без изменеия). Получим систему
II. $h, h^2(h+1), (h+1)^2, h(h-1)$. Теперь ту же процедуру применим к 3-му и 4-му полиномам.
III. $h, h^2(h+1), 1, h(h-1)(h+1)^2$. До ответа осталось совсем немного.


Спасибо, в принципе понял, в третьем шаге ту же саму процедуру делаем к оставшимся полиномам? )

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 12:58 


27/08/08
22
Уважаемый, lofar, если я вас правильно понял то дальше я снова выбираю p и q и ищу для них НОК и НОД (в частности это 2 и 4 полиномы). 1 и 3 полиномы мне уже известны.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Ух, ну всё вроде бы, подсчитаны инвариантные множители. Перечисляю их:
h, h+1, h, 1

Заранее спасибо всем кто помог, вечером еще попробую пересчитать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2008, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Произведение инвариантных множителей должно было бы дать определитель вашей матрицы:
$$i_4\cdot i_3\cdot i_2\cdot i_1 = {D_1\over D_0}\cdot{D_2\over D_1}\cdot{D_3\over D_2}\cdot{D_4\over D_3} = D_4/D_0 = D_4.$$
У вас почему-то получилось иначе. Распишите свои действия.

У меня получилось $1,h,h(h+1),h^2(h+1)^2(h-1)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group