2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Элемент порядка 2 в центре группы
Сообщение25.09.2019, 19:08 


13/06/19
37
Если в группе $G$ есть ровно один элемент порядка 2, то этот элемент лежит в центре группы. Вопрос: верно ли это утверждение для любой группы?

Что-то не соображу как решить.
Пусть $g\in G$ элемент порядка 2. Это значит что $g^2=1$ или, что то же самое, $g=g^{-1}$.
Далее надо показать что элемент лежит в центре группы, то есть $\forall x\in G\quad gx=xg$.
В условии еще сказано элемент порядка 2 ровно один, то есть надо тоже как-то учитывать.

Подскажите направление, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элемент порядка 2 в центре группы
Сообщение25.09.2019, 20:51 
Заслуженный участник


18/01/15
3229
Докажите, что если $x$ и $y$ --- произвольные элементы группы, то порядки элементов $x$ и $yxy^{-1}$ всегда совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элемент порядка 2 в центре группы
Сообщение26.09.2019, 09:19 


13/06/19
37
Пусть $n=o(x)$, $x^n=1$.
$(yxy^{-1})^n=yx^ny^{-1}=yy^{-1}=1$.
Покажем что n - наименьшее. Действительно пусть есть $m<n$, такое что $(yxy^{-1})^m=1$. Тогда и $x^m=1$, приходим к противоречию.
Дальше понятно, порядки равны, но элемент единственный, поэтому равны элементы.
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элемент порядка 2 в центре группы
Сообщение26.09.2019, 12:19 
Заслуженный участник


18/01/15
3229
Верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элемент порядка 2 в центре группы
Сообщение26.09.2019, 12:39 


13/06/19
37
Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Элемент порядка 2 в центре группы
Сообщение26.09.2019, 13:12 
Заслуженный участник


18/01/15
3229
Пожалуйста. Обращайтесь, если что.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: StudentV


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group