Элемент порядка 2 в центре группы

[Roman_T]

Если в группе $G$ есть ровно один элемент порядка 2, то этот элемент лежит в центре группы. Вопрос: верно ли это утверждение для любой группы?

Что-то не соображу как решить.
Пусть $g\in G$ элемент порядка 2. Это значит что $g^2=1$ или, что то же самое, $g=g^{-1}$.
Далее надо показать что элемент лежит в центре группы, то есть $\forall x\in G\quad gx=xg$.
В условии еще сказано элемент порядка 2 ровно один, то есть надо тоже как-то учитывать.

Подскажите направление, пожалуйста.

[vpb]

Докажите, что если $x$ и $y$ --- произвольные элементы группы, то порядки элементов $x$ и $yxy^{-1}$ всегда совпадают.

[Roman_T]

Пусть $n=o(x)$, $x^n=1$.
$(yxy^{-1})^n=yx^ny^{-1}=yy^{-1}=1$.
Покажем что n - наименьшее. Действительно пусть есть $m<n$, такое что $(yxy^{-1})^m=1$. Тогда и $x^m=1$, приходим к противоречию.
Дальше понятно, порядки равны, но элемент единственный, поэтому равны элементы.
Правильно?

[vpb]

Верно.

[Roman_T]

Спасибо за помощь!

[vpb]

Пожалуйста. Обращайтесь, если что.