Преломление света в 3-х мерной линзе

[cygnusao]

Как рассчитать траекторию фотона (волны), распространяющиеся в среде, показатель преломления которой не постоянен и известен в каждой точке? По-видимому, следует воспользоваться принципом наименьшего действия. Но как реализовать его алгоритмически?
Траектория описывается таблицей из значений времени и значений трёх декартовых координат $(t_i,x_i,y_i,z_i; i=1,2,...)$. Расчет траектории можно свести к повторению элементарных шагов.
Пусть фотон уже достиг некоторой точки $i$ и нам известен предшествующий участок его траектории. В частности, мы имеем положение в предыдущей точке $i-1$, что позволяет рассчитать направление его дальнейшего движения. Попробуем найти следующую точку его траектории, используя значения коэффициента преломления $n_i$ в точке $i$ и коэффициент преломления $n_{i+1}$ в точке, в которую фотон бы прилетел за время $dt$, двигаясь со скоростью $\frac{c}{n_i}$ в направлении, определяемом по двум последним точкам траектории.
Таким образом, мы пытаемся свести задачу к школьной о преломлении света на границе двух сред с различными коэффициентами преломления $n_i\sin\theta_i = n_{i+1}\sin\theta_{i+1}$. Но что здесь понимать под нормалью к поверхности раздела двух сред и в какой плоскости пойдёт дальнейшая траектория фотона?
Не помогла ни книга Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И., Геометрическая оптика неоднородных сред, M., 1980, ни лекции по оптике В.Г.Архипкин, Г.С.Патрин (http://test.kirensky.ru/zdoc/optics_lectures.pdf). Предел сложности в работах - неоднородность в форме параллельных горизонтальных слоёв.

[Munin]

Сильно зависит от того, что и как вам известно, и как поставлена задача. Можно трассировать отдельные лучи (решать задачу Коши, по сути), можно распространять волновой фронт. Искать луч вариацией, "по принципу наименьшего действия", кажется вычислительно неэффективным, но в каких-то ситуациях и это может быть оптимальным.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
Причина переноса: Отсутствуют собственные попытки решения задачи.

Приведите собственные содержательные попытки решения задачи и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вернул

[Xey]

Надо искать по словам Градиентная оптика
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1 ... 0%BA%D0%B0

[Munin]

cygnusao в сообщении #1417160 писал(а):

Траектория описывается таблицей из значений времени и значений трёх декартовых координат $(t_i,x_i,y_i,z_i; i=1,2,...)$.

А показатель преломления как описан?

Каковы условия задачи, что фиксировано? Начальная и конечная точка? Начальная точка и направление? Как-то иначе?

[Dmitriy40]

(Как я бы решал)

Два варианта:
1. Если различные показатели преломления разделены чёткими границами. Трассировать луч по прямой до границы, на ней применять школьную формулу преломления, трассировать луч по прямой под новым углом до следующей границы, и т.д.
2. Если показатель преломления меняется плавно (непрерывно). Идти маленькими шагами, в каждой точке считать градиент показателя преломления в передней полусфере (чтобы не идти случайно назад), снова применять школьную формулу преломления на границе сред (границу брать перпендикулярно градиенту), делать шаг в новом направлении, всё повторять. Как-то надо проверять зацикливание.

Ещё можно впрямую применить принцип Гюйгенса-Френеля: испустить от источника волновой фронт и для каждой его точки считать вторичные источники, куда от них дойдёт фронт за мелкий шаг по времени, строить огибающую - т.е. фактически получать волновой фронт спустя шаг по времени - и повторять до упора. Тут потребуется гораздо больше памяти и вычислений. Зато надёжно.

[fred1996]

cygnusao
В самом общем виде в оптике работает принцип Гюйгенса-Френеля. Который можно применить например на суперкомпьютерах для не слишком сложных систем.
Но практически в любой задаче на оптику присутствует некая регулярность или симметрия. Симметрии или регулярности могут быть стандартные. И тогда можно применять стандартные методы (ухищрения) типа преобразований Фурье, Функций Грина, асимптотические методы для слоистых сред и пр. Либо придумывать какие-то свои собственные для вашей конкретной "регулярности".
Ну а вообще то это целая наука, которую в двух словах тут не опишешь. Называется физическая оптика. Все зависит от конкретики.
Первая и последняя книжка на эту тему, которую я в свое время осилил, была Оптика Борна и Вольфа.

[Munin]

Dmitriy40
Я что-то попытался уравнение геодезической, подходящее к делу, вспомнить, и не преуспел. У вас есть под рукой? У меня только уравнение эйконала.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Munin
Простите, нет. Я понимаю лишь численно, теория уже за границей моих знаний.