по утверждению Стиллуэлла, анализ деградировал

[beroal]

Цитата:

Последующее развитие дифференциального и интегрального исчисления представляет собой загадочное исключение из нормального процесса упрощения в математике. Сейчас мы имеем намного менее элегантную систему, которая принижает использование бесконечных рядов и усложняет систему правил для дифференцирования и интегрирования. Правила для дифференцирования всё ещё полны, при наличии разумного набор операций для построения функций, но правила для интегрирования неполны до убожества. Их недостаточно, чтобы проинтегрировать такие простые алгебраические функции, как $\sqrt{1 + x^3}$, или даже рациональные функции с неопределёнными постоянными, как $1/(x^5 -x -A)$. Более того, только в последние десятилетия мы смогли понять, какие алгебраические функции можно проинтегрировать по нашим правилам. (Этот малоизвестный результат изложен Дэвенпортом (1981).)

Цитата:

The subsequent development of calculus is a puzzling exception to the normal process of simplification in mathematics. Nowadays we have a much less elegant system, which downplays the use of infinite series and complicates the system of rules for differentiation and integration. The rules for differentiation are still complete, given a sensible set of operations for constructing functions, but the rules for integration are pathetically incomplete. They do not suffice to integrate simple algebraic functions like $\sqrt{1 + x^3}$, or even rational functions with undetermined constants like $1/(x^5 -x -A)$. Moreover, it is only in recent decades that we have been able to tell which algebraic functions are integrable by our rules. (This little-known result is expounded by Davenport (1981).)

Stillwell, John. Mathematics and Its History. 3rd. ed. New York: Springer, 2010. Print. Undergraduate Texts in Mathematics.

Прав ли Стиллвелл (Стиллуэлл)? Действительно ли анализ деградировал? Не следует ли нам вернуться к Ньютону и Лейбинцу?

[worm2]

Чушь какая-то.

[Gagarin1968]

beroal в сообщении #1417065 писал(а):

правила для интегрирования неполны до убожества.

Это ещё почему?
И где здесь вообще речь о какой-либо деградации?
Кстати, а Лейбницу и Ньютону были известны численные методы?

[Munin]

Gagarin1968 в сообщении #1417071 писал(а):

Кстати, а Лейбницу и Ньютону были известны численные методы?

Они их, мягко говоря, изобретали. (И, например, Кеплер.) В частности, для самих себя: для расчётов, например, небесной механики, приходилось проводить огромное количество именно численных вычислений.

Вы можете вспомнить метод Ньютона решения действительных уравнений. Менее известен многогранник Ньютона.

-- 24.09.2019 14:52:38 --

beroal в сообщении #1417065 писал(а):

Цитата:

правила для интегрирования неполны до убожества.

Это грубо неверно. См. алгоритм Риша.

[beroal]

Gagarin1968 в сообщении #1417071 писал(а):

beroal в сообщении #1417065

писал(а):
правила для интегрирования неполны до убожества. Это ещё почему?

Как раз читаю, скоро узнаю.

Gagarin1968 в сообщении #1417071 писал(а):

И где здесь вообще речь о какой-либо деградации?

Вот же:

beroal в сообщении #1417065 писал(а):

Последующее развитие дифференциального и интегрального исчисления представляет собой загадочное исключение из нормального процесса упрощения в математике.

Могу перевести больший объём текста оттуда, откуда это взято, если надо.

[Red_Herring]

Who the hell is this Stillwell ?

[Munin]

beroal в сообщении #1417093 писал(а):

Как раз читаю

Есть подозрение, что читать это как раз не стоит. Почитайте других историков математики.

[arseniiv]

Я не уверен, что «нормальный процесс упрощения в математике» существует. Есть же предел; и когда на него натыкаются, через некоторое время обычно находят, почему он таков. Про интегрирование вон дифференциальная теория Галуа и что-то там; почему он, интересно, не вспомнил более простой пример выражения корней полиномиального уравнения в радикалах?

[tolstopuz]

Какой-то странный выверт - тот факт, что интегрирование выводит из класса элементарных функций, объявляется проблемой с "правилами интегрирования". Я тоже так могу:

...но правила для решения уравнений неполны до убожества. Их недостаточно, чтобы найти корни такого простого уравнения, как $x^5-x+1=0$.

(особенно если учесть, что у Стиллвелла есть книга по теории Галуа)

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1417094 писал(а):

Who the hell is this Stillwell ?

Один из немногих авторов по истории математики.

[vend]

Стиллвелл неправ, правило интегрирования простоватое и универсальное - берем функцию и раскладываем ее в ряд Тейлора (ну или в ряд Фурье или какой нибудь другой ряд), интегрируем его почленно, вот вам и результат в виде ряда. А вопрос суммирования данного ряда это как бэ не вопрос анализа/интегрирования, а вопрос суммирования рядов. ))
Так что пусть Стиллвелл предъявляет претензии к теории рядов!

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1417130 писал(а):

Один из немногих авторов по истории математики.

Это то я понял, но каковы его собственные достижения в области математики чтобы заявлять безапелляционно "анализ деградировал"?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1417135 писал(а):

каковы его собственные достижения в области математики

Ну не знаю. Я читаю Колмогорова (наличие его достижений доказывать не надо?), но он писал только про по 19 век. И я у него тезисов "анализ деградировал" не видел.

-- 24.09.2019 19:08:03 --

Про историю математики 20 века вообще крайне мало источников (уровня layman, уточню).

[dmd]

beroal в сообщении #1417065 писал(а):

Не следует ли нам вернуться к Ньютону и Лейбинцу?

Возвращаться надо к Лагранжу, т.е. к алгебраичности.

Stillwell автор многочисленных ответов на MO.

У Вилдбергера есть курс видеолекций по истории математики, которые следуют основной канве книги Стилвела. И Вилдбергер сегодня основной последовательный критик современных оснований анализа.

tolstopuz в сообщении #1417122 писал(а):

Я тоже так могу:

...но правила для решения уравнений неполны до убожества. Их недостаточно, чтобы найти корни такого простого уравнения, как $x^5-x+1=0$.

Как раз для тринома с одним произвольным коэффициентом вполне достаточно.

(Оффтоп)

Это как "проверка алгеброй гармонии", чисто для проверки анализом алгебры, и только. Но для меня стало открытием, что для тринома/квадринома с хотя бы двумя произвольными коэффициентами современные CAS сделать вычисления не в состоянии. Видимо потому, что это двойное суммирование/интегрирование, т.е. две переменных. Алгоритм Риша - про одну переменную. И видимо бардак в интегрировании начинается с двух переменных. Формулы Лагранжа и Меллина для аналитического определения корня полинома любой степени в гипергеометрических функциях - имеются. Но толку от них, если мы банально в современных CAS соответсвующие вычисления не можем выполнить.

[Pphantom]

А как, собственно, предполагается решать "проблему"? Интегрирование - это все же не вещь в себе, а способ получения важных для приложений результатов. Попытка переопределить понятие интеграла или еще что-нибудь подобное попросту сделает его бесполезным.