неизмеримые множества по Лебегу

[Evgenii2012]

В первом пункте импликацию <<ясно...>> я попросил бы Вас пояснить - по моему, не так уж очевидно, что нет таких измеримых подмножеств. Со вторым пунктом всё ясно, вроде бы

[grizzly]

Evgenii2012 в сообщении #1029454 писал(а):

Почему непересекающихся подмножеств положительной меры не более, чем счётно ?

Но ведь нам ничего не стоит заданное множество ещё и обрезать каким-то кубом конечной меры. От этого его неизмеримость не испортится

Впрочем, Red_Herring уже сказал намного аккуратнее как раз то, что я пытался.

[Red_Herring]

Evgenii2012 в сообщении #1029460 писал(а):

В первом пункте импликацию <<ясно...>> я попросил бы Вас пояснить

Если бы такое множество было, то было бы счетное число множеств получающихся из него сдвигом (т.е. той же меры) и попарно непересекающихся, а тогда бы мера их объединения (лежащего в $[0,1)$) была бы бесконечной

[Evgenii2012]

Даже если Вы <<обрежете>> кубом, всё равно не вполне ясно, почему внутри него измеримых непересекающихся множеств положительной меры не более, чем счётно (если Вы это имели в виду). Ваша идея мне как раз нравится, правда, со счётностью таких множеств кое-какие сомнения возникают.

-- 21.06.2015, 22:13 --

Всем большое спасибо за обсуждение, в принципе ответ ясен - неизмеримое множество вполне может не содержать измеримых множеств положительной меры

[grizzly]

Evgenii2012 в сообщении #1029465 писал(а):

Ваша идея мне как раз нравится

У меня наоборот -- как только я увидел п.2 у Red_Herring, моя идея мне нравиться совсем перестала. Предлагаю её оставить.

-- 21.06.2015, 23:49 --

Всё же оставлю для истории ответ на вопрос:

Evgenii2012 в сообщении #1029465 писал(а):

почему внутри него измеримых непересекающихся множеств положительной меры не более, чем счётно

Поскольку мера куба конечна, то для каждого заданного $\varepsilon >0 $ количество попарно непересекающихся множеств, имеющих меру большую $\varepsilon $, будет конечное число. Беря последовательно $\varepsilon =1/n$, мы выберем все подмножества положительной меры. Это будет счётное объединение конечного числа множеств и, значит, оно будет не более чем счётно.

[Anton_Peplov]

Evgenii2012
Лирическое замечание. У меня, после моих безуспешных попыток свести к какой-то обозримой структуре хотя бы борелевскую сигма-алгебру, которая уже, чем лебеговская (некоторые попытки можно видеть здесь: http://dxdy.ru/topic94990.html), сложилось впечатление, что в этой сфере возможно все, невозможность чего не удается доказать сразу.

[Henrylee]

Интересует близкая задача, но более сложная.

Возможно ли разбить множество положительной меры Лебега (пусть будет отрезок прямой)
на два неизмеримых подмножества так, чтобы каждое из них не содержало измеримого подмножества положительной меры?