Вычисление проводимости кольца через угол (интеграл).

[LifeDeath]

Дан такой резистор. Контакты это внутренняя и внешняя окружность. Нужно найти сопротивление двумя способами. Собственно через сопротивление и через проводимость.
Общая формула $R = R_s\cdot\frac{L}{W}$
Где L - ширина резистора. W - его длина. Данное кольцо можно разбить на сумму бесконечно тонких колец и посчитать простой интеграл:

$R = R_s\int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{dR}{2\pi\cdot R} = \frac{R_s}{2\pi}\cdot\ln\frac{R_2}{R_1}$

То есть $dR$ это ширина маленького кольца. А $2\pi R$ это его длина.



Задачу также можно решить через проводимость $\sigma = \frac{1}{R} = \frac{1}{R_s} \cdot \frac{W}{L}$
Однако нужно правильно выбрать элемент сектора, точнее задать его математически. Я задавал так:


Тогда $d\sigma = \frac{1}{R_s} \cdot \frac{dW}{L} = \frac{1}{R_s} \cdot \frac{dl}{R_2 - R_1} = \frac{1}{R_s} \cdot \frac{R_2 \cdot \sin d\alpha}{R_2 - R_1} = \frac{1}{R_s} \cdot \frac{R_2 \cdot d\alpha}{R_2 - R_1}$

Тогда интеграл:

$\sigma = \frac{1}{R_s} \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{R_2 \cdot d\alpha}{R_2 - R_1} = \frac{1}{R_s} \frac{2\pi}{R_2 - R_1} $

$R = \frac{1}{\sigma} = \frac{R_s}{2\pi} (R_2 - R_1)$

Однако этот ответ не совпадает с ответом, полученным первым способом! Преподаватель говорил что сложность этого (второго) способа может быть в правильном задании ширины сектора кольца перед вычислением интеграла. Прошу указать на мою ошибку. Ответ, полученный в первом варианте - правильный.
Считаю что тут вопрос в математике, поэтому разместил тему тут.

[LifeDeath]

Прошу прощения, потерял R2 в последней формуле в числителе, но это не меняет сути.

[Munin]

Что-то я второго способа в упор не понял. Что у вас за формулы, начиная с $d\sigma=\ldots,$ откуда они берутся?

[Евгений Машеров]

Ошибка второго способа в том, что Вы по "общей формуле", которая относится к прямоугольному проводнику, считаете проводимость проводника иной формы.

[LifeDeath]

Munin в сообщении #1416410 писал(а):

Что-то я второго способа в упор не понял. Что у вас за формулы, начиная с $d\sigma=\ldots,$ откуда они берутся?

Я выразил $ $\sigma$ $ (проводимость) через $R$ просто возведя в минус первую степень. То есть $\sigma = \frac{1}{R} = \frac{1}{R_s} \frac{W}{L}$
Далее я выражаю бесконечно малый элемент проводимости (чтоб посчитать интеграл) через бесконечно малый размер сектора $dW$, то есть $d\sigma = \frac{1}{R_s} \frac{dW}{L}$, где в качестве $dW$ я взял проекцию большого радиуса $R_2$ через бесконечно малый угол $d\alpha$.
А $L$ я представил просто как $R_2 - R_1$.

-- 21.09.2019, 23:15 --

Евгений Машеров в сообщении #1416414 писал(а):

Ошибка второго способа в том, что Вы по "общей формуле", которая относится к прямоугольному проводнику, считаете проводимость проводника иной формы.

А разве бесконечно "тонкий" элемент окружности нельзя рассмотреть как прямоугольник со сторонами $R_2 - R_1$ и $dl$ соответственно? Потом просто найти интеграл по углу и получить проводимость, ну а дальше возвести в минус первую степень? Я это и пытался сделать. То есть, я же выражаю бесконечно малый участок именно как прямоугольник.

[Munin]

LifeDeath в сообщении #1416415 писал(а):

А разве бесконечно "тонкий" элемент окружности нельзя рассмотреть как прямоугольник со сторонами $R_2 - R_1$ и $dl$ соответственно?

Разумеется, нет. Он же расширяется. Вам не говорили, что чем шире проводник, тем меньше у него сопротивление?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[LifeDeath]

Munin в сообщении #1416422 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1416415 писал(а):

А разве бесконечно "тонкий" элемент окружности нельзя рассмотреть как прямоугольник со сторонами $R_2 - R_1$ и $dl$ соответственно?

Разумеется, нет. Он же расширяется. Вам не говорили, что чем шире проводник, тем меньше у него сопротивление?

Так поэтому я в этом способе считаю проводимость, а потом полученное выражение просто возвожу в минус первую степень. Мне не понятна ошибка конкретно во втором способе. Как еще можно задать элемент окружности? (Не считая способа с тонкими кольцами, ибо это первый способ, где считается напрямую через сопротивление, считая каждое последующее кольцо последовательно соединенным друг с другом малым резистором. В случае секторов имеем параллельное соединение, переходя к проводимостям, считать можно тоже через сумму, то есть интеграл.)

[Munin]

LifeDeath в сообщении #1416435 писал(а):

Так поэтому я в этом способе считаю проводимость

Проводимость чего, и как вы её считаете?

Вы считаете, что у более широкого проводника сопротивление меньше, а вот проводимость от ширины никак не меняется?

[LifeDeath]

Munin в сообщении #1416441 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1416435 писал(а):

Так поэтому я в этом способе считаю проводимость

Проводимость чего, и как вы её считаете?

Вы считаете, что у более широкого проводника сопротивление меньше, а вот проводимость от ширины никак не меняется?

Проводимость всего резистора (кольца). То есть первый контакт - это внутренняя часть кольца, второй контакт - вешняя. Проводимость должна быть больше. Но как это можно задать в бесконечно малых единицах?

Надеюсь у меня получилось понятно нарисовать это.
В формуле для вычисления сопротивления (а соответственно, и проводимости) присутствуют длина и ширина проводника. Поэтому я задаю через них проводимость бесконечно малого элемента проводника $d\sigma$. Ширину можно выразить через малый элемент угла, спроецировав известный радиус. В итоге получаю выражение для элемента проводимости через бесконечно малый элемент угла. Так как резистор имеет форму окружности, то интегрирую этот малый элемент проводимости от нуля до двух пи. Должен получить проводимость всей фигуры. Это я описал в заглавном сообщении. Но, видимо, тут что-то не так.
Я чувствую, что тут совсем простая и глупая ошибка, скорее всего связана с элементом угла. Но пока не пойму, что конкретно.

[Munin]

Вы очень тщательно описываете, что вы делаете потом, после того, как взяли проводимость вот этого узкого, но длинного сектора. Но вы никак не объясняете, откуда вы собственно её взяли. А в этом главная задача.

Её нельзя брать по формуле

LifeDeath в сообщении #1416415 писал(а):

$d\sigma = \frac{1}{R_s} \frac{dW}{L}$

потому что эта формула относится исключительно к прямоугольной полоске. А сектор - не полоска. Он расширяется. Он расширяется значительно, если сравнить с его собственной шириной.

[Евгений Машеров]

LifeDeath в сообщении #1416415 писал(а):

где в качестве $dW$ я взял проекцию большого радиуса $R_2$ через бесконечно малый угол $d\alpha$.

А теперь возьмите проекцию малого радиуса. Только не забудьте про числитель, не потеряйте ничего. И насладитесь разницей результатов...

[Alex-Yu]

LifeDeath в сообщении #1416393 писал(а):

Преподаватель говорил что сложность этого (второго) способа может быть в правильном задании ширины сектора кольца перед вычислением интеграла.

Чепуху говорит этот ваш преподаватель. Этот "второй способ" -- вообще бред собачий. Первый способ -- правильный.

Можно еще выразить плотность тока через поле ${\bf j}=\sigma {\bf E}$. Отсюда нетрудно выразить разность потенциалов и общий ток. Далее до сопротивления "рукой подать". Но никакое интегрирование по углу здесь не нужно. Это вообще странная затея -- интегрировать константу. Нет, формально написать интеграл можно. Но не нужно.

[LifeDeath]

Munin в сообщении #1416457 писал(а):

Вы очень тщательно описываете, что вы делаете потом, после того, как взяли проводимость вот этого узкого, но длинного сектора. Но вы никак не объясняете, откуда вы собственно её взяли. А в этом главная задача.

Её нельзя брать по формуле

LifeDeath в сообщении #1416415 писал(а):

$d\sigma = \frac{1}{R_s} \frac{dW}{L}$

потому что эта формула относится исключительно к прямоугольной полоске. А сектор - не полоска. Он расширяется. Он расширяется значительно, если сравнить с его собственной шириной.

Сектор действительно расширяется, но ведь поэтому я использую интеграл? Просто на моем малом опыте - это типичная задача на выделение малой величины, а затем ее интегрирование. Подобно тому как умножив силу тяжести на маленькое изменение расстояния, а затем проинтегрировав по высоте, мы получим выражение для потенциальной энергии.
То есть я рассмотрел бесконечно малый сектор, использую ту формулу, а потом "просканировал" все кольцо на 360 градусов используя интеграл. Получив выражение для бесконечно малого сектора, я, интегрированием, сложил бесконечное количество таких секторов в окружности. Таким образом, получил сумму проводимости всех бесконечно малых секторов.
То есть да, вы говорите что что сектор расширяется, но и я не использую ту формулу для всего кольца, а интеграл от того выражения.

-- 22.09.2019, 14:47 --

Евгений Машеров в сообщении #1416518 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1416415 писал(а):

где в качестве $dW$ я взял проекцию большого радиуса $R_2$ через бесконечно малый угол $d\alpha$.

А теперь возьмите проекцию малого радиуса. Только не забудьте про числитель, не потеряйте ничего. И насладитесь разницей результатов...

Получается $d\sigma = \frac{1}{R_s} \frac{dW}{L} = \frac{1}{R_s} \frac{R_1 d\alpha}{R_2 - R_1}$

Тогда $\sigma = \int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{R_s} \frac{R_1 d\alpha}{R_2 - R_1} = \frac{1}{R_s} \frac{R_1 2 \pi}{R_2 - R_1}$

$R = \frac{1}{\sigma } = \frac{R_s}{2 \pi} \frac{R_2 - R_1}{R_1}$

Получается просто другой радиус в знаменателе. В ответе должен быть логарифм отношения большого радиуса к малому. Пока не представляю как задать ширину сектора чтобы так получилось.

-- 22.09.2019, 14:50 --

Alex-Yu в сообщении #1416525 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1416393 писал(а):

Преподаватель говорил что сложность этого (второго) способа может быть в правильном задании ширины сектора кольца перед вычислением интеграла.

Чепуху говорит этот ваш преподаватель. Этот "второй способ" -- вообще бред собачий. Первый способ -- правильный.

Можно еще выразить плотность тока через поле ${\bf j}=\sigma {\bf E}$. Отсюда нетрудно выразить разность потенциалов и общий ток. Далее до сопротивления "рукой подать". Но никакое интегрирование по углу здесь не нужно. Это вообще странная затея -- интегрировать константу. Нет, формально написать интеграл можно. Но не нужно.

Тем не менее таким образом решается задача. Возможно я объяснил не совсем понятно в первом сообщении. Но смысл задания, грубо говоря, математически, - проинтегрировать кольцо разбивая его на малые кольца изменяющегося радиуса и проинтегрировать его, разбивая на малые секторы.

[Евгений Машеров]

Ну, не зная лично Вашего преподавателя, не смею обвинять его в маразме, ниже в троллинге. Если Вы точно услыхали его объяснения, ничего не перепутав, то единственное объяснение в том, что получить противоречие и было его целью, чтобы потом, объяснив его, растолковать, где можно "интуитивно обосновывать бесконечной малостью", а где нельзя. Во втором случае нельзя.
Сопротивление неполного сектора, образованного дугами радиуса $r_1$ и $r_2$ с общим центром и проведенными из него радиусами с углом между ними $\alpha$ радиан, измеренное между контактами, присоединёнными к дугам, будет равно $R=\frac \rho \alpha \ln{\frac {r_2} {r_1}}$
Мне неизвестен способ найти это выражение проще, чем тот, которым Вы воспользовались в первом случае.