Как научиться составлять ДУ и определять физ. смысл?

[Algorithm]

Автор темы http://dxdy.ru/topic15982.html затронул интересный вопрос.
Хотелось бы рассмотреть похожую тему, но в более общем виде.

Как уважаемые физики составляют дифференциальные уравнения, как научиться этому? Может есть какая-то литература с рекомендациями или специальные методики?
Ведь гораздо лучше уметь выводить уравнения, чем их запоминать или искать похожие в справочниках.
Когда читаешь как выводятся ДУ в учебниках матфизики, то возникает ощущение какого-то фокуса. Тут умножили, там разделили, разложили в ряд Тейлора и т.д. В университетском курсе вообще не рассматривался вопрос обучения составлению ДУ, тебе дают чей-то готовый вывод в учебнике, а ты его заучиваешь.
Но хочется самому понять как это делать и какие вообще существуют способы вывода ДУ.
Мне кажется, что наличие такого навыка у человека - это ключ к пониманию физических процессов.

И второй вопрос...
Как анализировать уже составленные кем-то ДУ? Как, глядя на уравнение, можно определить физический смысл его компонент? Ведь говорят же, что хороший физик может предугадать решение уравнения не рашая его.

[Eugeen1948]

Algorithm писал(а):

Автор темы http://dxdy.ru/topic15982.html затронул интересный вопрос.
Хотелось бы рассмотреть похожую тему, но в более общем виде.

Как уважаемые физики составляют дифференциальные уравнения, как научиться этому? Может есть какая-то литература с рекомендациями или специальные методики?
Ведь гораздо лучше уметь выводить уравнения, чем их запоминать или искать похожие в справочниках.
Когда читаешь как выводятся ДУ в учебниках матфизики, то возникает ощущение какого-то фокуса. Тут умножили, там разделили, разложили в ряд Тейлора и т.д. В университетском курсе вообще не рассматривался вопрос обучения составлению ДУ, тебе дают чей-то готовый вывод в учебнике, а ты его заучиваешь.
Но хочется самому понять как это делать и какие вообще существуют способы вывода ДУ.
Мне кажется, что наличие такого навыка у человека - это ключ к пониманию физических процессов.

И второй вопрос...
Как анализировать уже составленные кем-то ДУ? Как, глядя на уравнение, можно определить физический смысл его компонент? Ведь говорят же, что хороший физик может предугадать решение уравнения не рашая его.

Составлять или анализировать уравнения просто, если знать основополагающие законы предмета. Например. все уравнения теплопередачи и гидродинамики выводятся из начал термодинамики. Очень доходчиво это излагается в книге "Термодинамика. Вукалович М.П., Новиков И.И. 1972 г." Конечно надо еще знать основы интегрального и дифференциального исчисления и, конечно, уметь оперировать теоремами Остроградского-Гаусса, Лагранжа, Томсона, Гельмгольца и т.п.
Поупражняясь на простых примерах Вы затем сможете замахнуться и на большее.
Одно я Вам скажу точно. Практически в каждой области физики идут споры вокруг уравнений, описывающих то или иное явление, добавляются дополнительные члены из всяких "физических соображений". Вы же должны помнить одно правило: при любых преобразованиях уравнений матфизики не должны нарушаться законы сохранения.
И не верьте тем кто говоит "что хороший физик может предугадать решение уравнения не рашая его". Это полная чушь, распространемая некоторыми физиками в среде полных невежд. Попробовал бы кто-нибудь сказать такое про себя на каком нибудь представительном семинаре или, упаси бог, на конгрессе!

[Munin]

Есть два разных вопроса: как выводить одни уравнения из других, и как находить те исходные уравнения, из которых выводятся другие. Первый вопрос учебный, так решаются все физические задачи: известны основные законы, и их надо применить к частному случаю. Все "фокусы" основаны на физическом отбрасывании второстепенных деталей, и математических попытках найти решение, хотя бы и приближённое. Список таких приёмов читают в курсах по дифференциальным уравнениям.

Второй вопрос на несколько этажей выше, и относится к верхнему краю теоретической физики, к тому, как ищут законы природы в виде дифференциальных уравнений. Здесь рецептов меньше, этот этаж относится к творческой научной работе. Здесь бывают случаи, когда надо найти что-то, что соответствует эксперименту, или когда надо придумать что-то за рамками эксперимента ("игрушечная теоретическая модель", на которой изучаются какие-то теоретические явления). И там и там главный принцип простота. Зависит что-то от чего-то? Предположим, что зависимость линейная, или если она чётная - квадратичная. Нужен минимум? квадрат, нужно два минимума? $x^4-x^2$ или $(x^2-1)^2.$ Если не подойдёт, усложним ещё на шажок.

Насчёт предугадывания решения - скорее всего, речь о качественных рассуждениях и качественных представлениях о ходе решения. Идёт ли оно вверх или вниз? Уходит ли в ноль, и если да, то как: по гиперболе, по экспоненте, по экспоненте от квадрата? Пересекает ли оно ноль, и сколько раз? Как два решения ведут себя сравнительно друг с другом? Эти вопросы действительно можно прикинуть "на пальцах", не решая уравнения полностью и не залезая в таблицы спецфункций.

Да, и у физиков не бывает "представительных семинаров", бывают обычные, научные. И вместо конгрессов - конференции.

[Algorithm]

Eugeen1948 писал(а):

Составлять или анализировать уравнения просто, если знать основополагающие законы предмета. Например. все уравнения теплопередачи и гидродинамики выводятся из начал термодинамики. Очень доходчиво это излагается в книге "Термодинамика. Вукалович М.П., Новиков И.И. 1972 г."

Спасибо, постараюсь найти книгу.

Eugeen1948 писал(а):

И не верьте тем кто говоит "что хороший физик может предугадать решение уравнения не рашая его". Это полная чушь, распространемая некоторыми физиками в среде полных невежд. Попробовал бы кто-нибудь сказать такое про себя на каком нибудь представительном семинаре или, упаси бог, на конгрессе!

Ну это кто-то из великих сказал, не помню только кто.

Munin писал(а):

Есть два разных вопроса: как выводить одни уравнения из других, и как находить те исходные уравнения, из которых выводятся другие. .

По-моему, такое перефразирование исходных вопросов не совсем верно, особенно во второй части. Интересует не то, как находить те исходные уравнения, из которых выводятся другие, а именно анализ компонент ДУ. Например, если рассмотреть дифференциальное уравнение теплопроводности, то там в правой части стоят вторые производные по координатам от функции T. У неподготовленного человека возникает вопрос как "обозвать" общеизвестным термином эти вторые производные, и какой физический смысл им придать, чтобы разобраться в том, как работает этот дифур? Таких примеров много... Если проанализировать алгебраическое уравнение несложно, то с дифуром так не поступишь, там не все так прозрачно и не всегда можно сразу увидеть физический смысл.

Munin писал(а):

Список таких приёмов читают в курсах по дифференциальным уравнениям.

Все дело в том, что в курсах по ДУ разбирают всего пару классических примеров, которые являются частными. Но за этими частностями сложно увидеть стройную методику и обобщить информацию.

[Munin]

Algorithm в сообщении #141798 писал(а):

Все дело в том, что в курсах по ДУ разбирают всего пару классических примеров, которые являются частными. Но за этими частностями сложно увидеть стройную методику и обобщить информацию.

Я с этим не согласен. Во-первых, курсы по ДУ бывают разные, от кратеньких по верхам для технических вузов, до глубоких и обширных для тех, кто интересуется. Во-вторых, в курсах по ДУ как раз разбирают не частные примеры, а наиболее часто встречающиеся, а экзотика обсуждается в специализированных монографиях.

Насчёт "сложно увидеть стройную методику и обобщить информацию"... Подозреваю, это так кажется только на первый взгляд. Такие методы, как метод характеристик, преобразование Фурье и метод функций Грина - практически вездесущи в мире линейных уравнений. И - очень "физичны", как раз позволяют "разобраться в том, как работает этот дифур", "проанализировать уравнение". Если вы с такими методами ещё не знакомы, для вас стадия обобщения ещё впереди.

Добавлено спустя 46 минут 43 секунды:

Хорошая цитата:
Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории, 1975
Глава 6 Качественные методы в квантовой теории поля
1 Конструирование релятивистских уравнений

Цитата:

При получении уравнений и функций Грина, описывающих частицы, определяющую роль играют условия симметрии, т. е. требование инвариантности относительно общих преобразований Лоренца, включающих повороты в пространстве — времени и отражения (требования четности и обратимости). Еще одно существенное условие, которое накладывается на уравнения,— это требование простоты. Так, например, отбираются уравнения с производными наинизшего порядка или, в случае внешнего поля, с наименьшим возможным числом параметров, определяющих взаимодействие частицы с полем. Требование простоты, или лучше сказать, красоты уравнений, не являясь абсолютным, сыграло важнейшую роль в отыскании законов природы.

[Algorithm]

Munin писал(а):

Во-первых, курсы по ДУ бывают разные, от кратеньких по верхам для технических вузов, до глубоких и обширных для тех, кто интересуется. Во-вторых, в курсах по ДУ как раз разбирают не частные примеры, а наиболее часто встречающиеся, а экзотика обсуждается в специализированных монографиях.

Вы правы... Видимо, у меня был как раз случай "по верхам". Во всяком случае ощущения целостности и непротиворечивости изложенного материала не возникало, так же как и понимания происходящего.

Munin писал(а):

Насчёт "сложно увидеть стройную методику и обобщить информацию"... Подозреваю, это так кажется только на первый взгляд. Такие методы, как метод характеристик, преобразование Фурье и метод функций Грина - практически вездесущи в мире линейных уравнений. И - очень "физичны", как раз позволяют "разобраться в том, как работает этот дифур", "проанализировать уравнение". Если вы с такими методами ещё не знакомы, для вас стадия обобщения ещё впереди.

Что-то подобное было, хотя воспоминания достаточно сумбурны и не связаны на тот момент с полезными для моей практики примерами. На нашего преподавателя мы смотрели как на факира. То что он выводил на доске чудовищным почерком было забавно, но совершенно немыслимо для простого смертного.

Теперь хочется восполнить недостаток знаний, потому что мне это действительно интересно. Жалко только, что далеко не у всех авторов учебников такой редкий талант просто рассказывать о сложных вещах, как, например, у Фейнмана. А то читаешь иногда, и приходится переводить с русского на русский.

[Munin]

Попробуйте задать вопрос на подфоруме "Математика" или "Математика - Помогите решить/разобраться". Я думаю, вам там порекомендуют хорошие учебники. К сожалению, я недостаточно их знаю, чтобы сравнивать по качеству. У меня на слуху только Фихтенгольц, Морс и Фешбах, Тихонов-Самарский.

Вот разве что книга Мигдала "Качественные методы в квантовой теории" или её более ранняя версия "Приближённые методы квантовой механики" может оказаться вам интересной и полезной. А может и не оказаться, может, для вас она сейчас покажется слишком специальной. К сожалению, такая книга - достаточно уникальна среди физической литературы.

Насчёт "переводить с русского на русский" - да, большинство книг читаются не так легко, как художественная литература. Очень полезно, чтобы не терять нить изложения, повторять за автором выкладки, или пытаться "поиграть" самостоятельно с предложенными объектами, уравнениями, решениями. Кстати, это и с физическим смыслом поможет: попытайтесь самостоятельно составить уравнение колебаний струны, а потом, когда получится не то, что в учебнике :-) , разобраться, где ошибка.

[Algorithm]

Попробую задать вопрос на подфоруме "Математика", но разместил его здесь специально, так как взгляды физиков и математиков на способы решения одной и той же задачи могут различаться, про инженеров вообще молчу.
Интересно было услышать мнения тех, кто математические методы использует как простой и надежный рабочий инструмент, а не смотрит на них как на самоцель. Хотя математиков очень уважаю. )))

[programmist]

кстати для понимания ДУ важно не только понимание того что производная есть скорость изменения величины, а также важно понимание тех вещей которые складываются из производных. я говорю о дифференциальных операторах
например посмотрев на дивергенцию как на сумму производных векторных компонент по соответствующим координатам трудно понять что это число означает расхождение, или то что в этой точке есть источник или сток, хотя я долго пытался

[Munin]

programmist в сообщении #141952 писал(а):

кстати для понимания ДУ важно не только понимание того что производная есть скорость изменения величины, а также важно понимание тех вещей которые складываются из производных. я говорю о дифференциальных операторах

Важно понимание самых разных средств, которыми математики анализируют дифференциальные уравнения. Например, полезно понимать, что дифференциальное уравнение первого порядка задаёт поле направлений в пространстве параметра и функций от него.

programmist в сообщении #141952 писал(а):

например посмотрев на дивергенцию как на сумму производных векторных компонент по соответствующим координатам трудно понять что это число означает расхождение, или то что в этой точке есть источник или сток, хотя я долго пытался

Недавно нашёл отличное описание:
Рашевский Риманова геометрия и тензорный анализ, 1967, § 12 Кинематическое истолкование векторного поля и его производного аффинора.
Там рассмотрено, как векторное поле влияет на малый объём "пространственной жидкости", если его воспринимать как поле скоростей. Сразу становится ясно, почему кососимметричная часть (ротор) описывает вращение, а след (дивергенция) - расхождение или схождение.

[barga44]

автор топика, наверное окончивший школу, задает 5 разных вопросов.
На них можно ответить, только получив высшее образование.
Если у вас возникла задача, наймите специалистов.
Сами не разберетесь.

Если вы студент.Возьмите учебник Пискунов.
Высшая математика.
http://www.ozon.ru/context/detail/id/85076/#
Второй том.И на примере обыкновенных
диференциальных уравнений прорешайте все задачи по этой теме.
Зарегистрируйтесь на сайте и скачайте книгу.
http://favt.clan.su/load/2-1-0-34

Тогда у вас возникнет некоторое представление о теме.

В этом же томе есть и уравнение теплопроводности.

Прорешайте все задачи, которые там даны.Вам пока будет достаточно.Когда закончите, напишите на форум.

[Архипов]

Цитата:

Как самому составить дифференциальные уравнения и определять их физический чмысл?

Покажу простой способ составления дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Из определений скорости $v=dx/dt$ и ускорения $a=dv/dt$ получаем математические уравнения-шаблоны
$v*dv=a(x)*dx$
$v*dv=a(v)*dx$
для вставки в них функций, известных из физики:
$a=const$ -равноускоренное движение
$a(x)=g/x^2$ -ускорение тела в поле тяготения Земли
$a(x)=k*x/m$ - ускорение тела в пружинном маятнике
$a(v)=k*v$ - торможение тела в среде
$a(v)=k*v^2$ - торможение тела в среде
и т.д.
После этого интегрируем в определенных интегралах левую и правую части уравнения (задав пределы интегрирования (Vo,V1,Xo,X1). Получим физические уравнения движения.
Если принцип понятен, составьте 5 уравнений и проинтегрируйте их (по примерам, приведенным выше).

[yerzhik]

Algorithm в сообщении #141563 писал(а):

Автор темы topic15982.html затронул интересный вопрос.
Хотелось бы рассмотреть похожую тему, но в более общем виде.

Как уважаемые физики составляют дифференциальные уравнения, как научиться этому? Может есть какая-то литература с рекомендациями или специальные методики?
Ведь гораздо лучше уметь выводить уравнения, чем их запоминать или искать похожие в справочниках.
Когда читаешь как выводятся ДУ в учебниках матфизики, то возникает ощущение какого-то фокуса. Тут умножили, там разделили, разложили в ряд Тейлора и т.д. В университетском курсе вообще не рассматривался вопрос обучения составлению ДУ, тебе дают чей-то готовый вывод в учебнике, а ты его заучиваешь.
Но хочется самому понять как это делать и какие вообще существуют способы вывода ДУ.
Мне кажется, что наличие такого навыка у человека - это ключ к пониманию физических процессов.

И второй вопрос...
Как анализировать уже составленные кем-то ДУ? Как, глядя на уравнение, можно определить физический смысл его компонент? Ведь говорят же, что хороший физик может предугадать решение уравнения не рашая его.

Прочтите лучше Теоретическая физика, 1ый том, авторов Ландау и Лифшиц. С первых же глав поймете как составляются уравнения.
По крайней мере поймете куда дальше копать по этой теме.

[spctr]

Algorithm в сообщении #141925 писал(а):

Попробую задать вопрос на подфоруме "Математика", но разместил его здесь специально, так как взгляды физиков и математиков на способы решения одной и той же задачи могут различаться, про инженеров вообще молчу. :)
Интересно было услышать мнения тех, кто математические методы использует как простой и надежный рабочий инструмент, а не смотрит на них как на самоцель. Хотя математиков очень уважаю. )))

А зря, кстати, молчите. У инженеров есть такая дисциплина - теория управления. Её суть - (качественный) анализ поведения системы, описываемой ОДУ или ДУЧП, и синтез управления, при котором система с регулятором соответствует заданным требованиям. Определить физический смысл компонент, кончено, не поможет, но вот делать выводы о поведении решений - её задача. Хотя сейчас и теорию управления оккупировали математики. Кстати в нелинейной динамике я не специалист, но говорят, что на соответствующих конференциях вполне себе сосуществуют математики, физики и инженеры.

[Technolog]

Здравствуйте уважаемое научное содружество!
Хотелось бы узнать технологические процессы также могут быть описаны диф уравнениями или сугубо механические, теплофизические, химические поддаються мат. обработке.