Многочлены с целыми коэффициентами

[somebody]

Найдите все натуральные $n$, для которых существует многочлен $P(x)$ с целыми
коэффициентами такой, что $P(k) = \frac{n}{k}$ для всех натуральных делителей $k$ числа $n$.
Уже доказано:
1) Для простого $n$ многочлен $P(x) = -x + n + 1$
2) $\frac{n}{k} \bmod k = 1$

[mihaild]

А что вообще такое $k$ в 2)? Если произвольный делитель - то это условие не является необходимым.

[somebody]

mihaild в сообщении #1415470 писал(а):

А что вообще такое $k$ в 2)? Если произвольный делитель - то это условие не является необходимым.

В 2) $k$ - действительно произвольный делитель. Про необходимость условия я не совсем понял. Мне показалось полезным указать этот вывод, т.к. из 2) можно сделать следствие, что в разложение $n$ на простые множители каждое простое число входит в степени не больше 1

[mihaild]

Да, пардон, это я считать не умею (обсчитался и показалось, что нашел пример, когда это неверно).

[iifat]

Я б присмотрелся к многочлену $xP(x)-n$