ОТО, векторы Киллинга и оптика

[Ascold]

Пару раз попадалось на глаза такое: в рамках ОТО в приближении геом. оптики траектории световых лучей ищут через уравнения $k^\mu k_{\nu;\mu}=0$ и $k_\mu\xi^\mu_\alpha=q_\alpha,$ где $q_\alpha$ - константы. Что-то я торможу - взятие ковариантной производной от $k_\mu k^\mu=0$ даёт $k^\mu k_{\mu;\nu}=0,$ а не первое уравнение, ну и откуда берётся второе? С векторами Киллинга не работал, знаю лишь что производная Ли от метрики вдоль них нулю равна.

[Утундрий]

Первое - уравнение геодезической. А смысл второго зависит от определения $\xi$.

(Оффтоп)

Ascold в сообщении #1415241 писал(а):

С векторами Киллинга не работал, знаю лишь что производная Ли от метрики вдоль них нулю равна.

Сколько будет $3+2$ не знаю, знаю лишь, что сложение коммутативно...

[Geen]

Ascold в сообщении #1415241 писал(а):

С векторами Киллинга не работал, знаю лишь что производная Ли от метрики вдоль них нулю равна.

А скалярные произведения их на касательный вектор сохраняются вдоль (любых) геодезических (при аффинном параметре).

[Munin]

Если есть уравнение геодезической, то никакого второго уравнения не нужно. И далеко не во всяком пространстве-времени вообще векторы Киллинга есть. Что за второе уравнение, зачем оно нужно?

[Geen]

Munin в сообщении #1415254 писал(а):

Что за второе уравнение, зачем оно нужно?

Это законы сохранения по сути. (Например, сохранение энергии).

[Ascold]

Утундрий в сообщении #1415243 писал(а):

Первое - уравнение геодезической.

я его не опознал, т.к. привык писать в виде $k_{\mu;\nu}=0$, а здесь зачем-то ещё умножили и свернули.

[Munin]

Geen
А, ну да. Вообще полезно. И если уравнение геодезической "умножили и свернули", то и вправду уравнений может не хватить.

[Geen]

Munin в сообщении #1415274 писал(а):

И если уравнение геодезической "умножили и свернули"

Ну, честно говоря, не понял где "умножили или свернули" - вроде бы обычное уравнение. Но "первые интегралы" в любом случае полезны.

[Ascold]

Geen в сообщении #1415294 писал(а):

Ну, честно говоря, не понял где "умножили или свернули" - вроде бы обычное уравнение. Но "первые интегралы" в любом случае полезны.

2 том Ландау и Лифшица: там строится ур-е геодезической - ковариантная производная от волнового вектора равна нулю, без умножения ещё и на сам волновой вектор.

[Geen]

Ascold в сообщении #1415302 писал(а):

ковариантная производная от волнового вектора равна нулю

Это где именно такое? Неужели (87.7)?...
Не говоря уж о том, что уравнение геодезической это четыре уравнения, а не 16 или одно.

[Ascold]

Geen в сообщении #1415311 писал(а):

Это где именно такое? Неужели (87.7)?...
Не говоря уж о том, что уравнение геодезической это четыре уравнения, а не 16 или одно.

Что их 4 это понятно, а с остальным - это я затупил, вопрос снят.