задача на разрезание треугольника 4мя прямыми

[Fizykochemik]

Треугольник с площадью $S$ поделен на 9 многоугольников четырьмя прямыми проходящими через его вершины (2+2), причем каждая пара прямых проходящих
через вершины делит на противолежащую стороны на 3 равные части. Доказать, что внутренний четырехугольник образованный этими прямыми имеет площадь $\frac{9}{70}S$.

Меня хватило только на отчаянное решение введением системы координат. Потом нахождение вершин это внутреннего четырехугольника и потом площади его в терминах двух сторон и одного угла. Помогите найти более изящное решение.

[Munin]

Эта... как её... теорема Менелая!

-- 15.09.2019 15:00:51 --

Что то же самое, что введение координат, только не прямоугольных, а косоугольных.

[BVR]

Мне кажется, что задачу достаточно решить для равностороннего треугольника. Все треугольники аффинно-эквивалентны, а при аффинных преобразованиях сохраняется отношение площадей частей фигур

[Sender]

Munin в сообщении #1415278 писал(а):

Что то же самое, что введение координат, только не прямоугольных, а косоугольных.

Введением косоугольных координат я бы скорее назвал векторный метод. И да, тут он тоже применим, как и во многих других случаях.

[Fizykochemik]

Я думал о векторном методе, эти 4 прямые содержат 12 внутренних отрезков (векторов), достаточно найти те 4 образуюзующие искомый четырехугольник через
боковые стороны данного треугольника. Но не удается написать систему 12 ур-й, только 9.

Можно еще использовать конформные отображения, или формулу для вычисления площади через двумерный интеграл, но речь идёт о школьном решении.

[Munin]

Sender в сообщении #1415292 писал(а):

Введением косоугольных координат я бы скорее назвал векторный метод.

А я бы введение косоугольных координат назвал векторным методом.

[beroal]

Можно сесть, как древний грек, и посчитать. Пусть прямые, которые делят треугольник, исходят из вершин $A$ и $B$. Прямые, исходящие из $A$, делят треугольник на треугольники (начиная от $B$) $a, b'$ и ещё один неважно какой. Положим $b=a+b'$. Тогда площади $a=1/3$, $b=2/3$. Прямые, исходящие из $B$

• делят $a$ на треугольники (начиная от $A$) $a_0, a_1, a_2$,
• делят $b$ на треугольники (начиная от $A$) $b_0, b_1, b_2$.

Площади $b_0+b_1+b_2, b_1+b_2, b_2$ относятся как $6/6, 4/7, 2/8$. Площади $a_0+a_1+a_2, a_1+a_2, a_2$ относятся как $3/3, 2/5, 1/7$. Предыдущие отношения можно получить, выбрав красивую систему координат для каждого случая отдельно. Площади $b_1 = b\times (4/7-2/8)$ и $a_1 = a\times (2/5-1/7)$. Искомая площадь равна $b_1-a_1$.

[Fizykochemik]

Спасибо beroal, получается правильный ответ.
Мне как современному русскому непонятно как получить вышеупомянутые соотношения. Не могли Вы чуть развинуть тему?
В первом случае ось $x$ вдоль первой прямой считая от $AC$ с началом в точке $A$?

[beroal]

Fizykochemik, для треугольника $b$:

Я взял наклоны прямых, исходящих из $B$.