метрические пространства с геодезическими линиями

[beroal]

Цитата:

Карл Менгер понял, что многие свойства линий можно расширить на более общие метрические пространства, где есть геодезические линии, то есть пути, чья длина равна расстоянию между их концами. Менгер исследовал геометрические свойства таких метрических пространств, не прибегая к локальным координатам или дифференциалам. Вместо этого он опирался на свойства, которыми обладает функция расстояния.

Источник на английском. Кто-нибудь может объяснить в общих чертах, о чём здесь говорится? И где об этом почитать подробнее. По ссылке глава неизвестно какого недописанного учебника.

[alcoholist]

beroal
Это теперь называется "метрическая геометрия". Прекрасная книга "Курс метрической геометрии" (Бураго, Бураго, Иванов) содержит материал начиная с определений и вплоть "до":))

[beroal]

alcoholist, спасибо. Полагаю, что мне это читать ещё рано, но хоть пару определений посмотрю.

[Утундрий]

Посмотрите в ОТО Синга 1963 года. Есть там некая "мировая функция"...

[alcoholist]

beroal, это курс "с нуля".

[beroal]

alcoholist, у меня сразу же возник вопрос по определениям в учебнике.

0.

Цитата:

…путь $\gamma$ в (топологическом) пространстве $X$ — это (непрерывное) отображение $\gamma: I\to X$, определенное на интервале $I\subset \mathbb{R}$. Под интервалом мы понимаем любое связное подмножество вещественной прямой. Оно может быть открытым или замкнутым, ограниченным или неограниченным; множество, состоящее из одной точки, также считается интервалом.

Но потом везде в качестве области определения путей указывается $[a, b]$. Так всё-таки любое связное подмножество или замкнутый интервал? Если любое связное подмножество, как определить конкатенацию (умножение) путей?

1. Чтобы доказать, что $d_L$ — метрика, надо доказать, что для любого $x\in X$ верно $d_L(x, x) = 0$, а для этого надо доказать, что существует допустимый путь $\gamma$, проходящий через $x$. Потом из аддитивности длины пути $L(\gamma\restriction [a, a]) = L(\gamma\restriction [a, a]) + L(\gamma\restriction [a, a])$, где $\gamma(a) = x$, я могу вывести $L(\gamma\restriction [a, a]) = 0$. Что-то я не вижу никакой аксиомы, говорящей о существовании допустимых путей. Что, если допустимых путей нет?